2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Журнал квант. 1970 год.
Сообщение14.03.2012, 15:28 
Заморожен


10/10/11
109
Вот, собственно, задача:
a, b, c — длины сторон треугольника. Докажите, что a⁄(b + c – a)+b⁄(c + a – b)+c⁄(a + b – c) больше или равна 3.

Что-то не могу решить. Понятно, что:
a<b+c;
b<a+c;
c<a+b;

Но как решать?
P.S. Какой уровень сложности у данной задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Журнал квант. 1970 год.
Сообщение14.03.2012, 15:37 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Введите новые переменные:
$x=-a+b+c;$
$y=a-b+c;$
$z=a+b-c.$
Далее используйте неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Сложность я бы оценил в 1–1.5 по десятибалльной шкале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Журнал квант. 1970 год.
Сообщение14.03.2012, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Вообще тут если выражения перемножить, то внизу бросается в глаза почти формула Герона, а потом радиусы вписанной и описанной окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Журнал квант. 1970 год.
Сообщение14.03.2012, 17:25 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
ZARATUSTRA в сообщении #548264 писал(а):
Вот, собственно, задача:
a, b, c — длины сторон треугольника. Докажите, что a⁄(b + c – a)+b⁄(c + a – b)+c⁄(a + b – c) больше или равна 3.

Пусть $a+b+c=3$. Тогда $\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c-a}-3=\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a}{3-2a}-1-3(a-1)\right)=\sum\limits_{cyc}\frac{6(a-1)^2}{3-2a}\geq0$
Действительно, лёгкая задача. Усилим немного:

Пусть $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника. Докажите, что:
$$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+ac+bc}$$

и много:
Пусть $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника. Докажите, что:
$$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq3\left(\frac{3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)}{2(ab+ac+bc)-a^2-b^2-c^2}\right)^{\frac{4}{5}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Журнал квант. 1970 год.
Сообщение16.03.2012, 13:21 


11/02/12
36
Пусть $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника. Докажите, что:
$$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+ac+bc}$$

тупо по коши, подводим левую часть под одну дробь и используем неравенство 2(ab+bc+ca)>summa kvadratov a,b,c

Пусть $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника. Докажите, что:
$$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq3\left(\frac{3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)}{2(ab+ac+bc)-a^2-b^2-c^2}\right)^{\frac{4}{5}}$$[/quote]

a=x+y,b=x+z,c=y+z и используем,что 2(ab+bc+ca)>summa kvadratov a,b,c

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group