неизоморфность проколотого диска и кольца

[podsekalnikov]

Нужно доказать, что проколотый диск $D=\{\,z\mid 0<|z|<1\,\}$ неизоморфен кольцу $A=\{\,z\mid a<|z|<b\,\}$ $(0<a<b<\infty)$. Видимо здесь нужно как-то воспользоваться леммой Шварца, но что-то у меня не получается. Буду очень признателен вашей помощи.

[Padawan]

Конформно отобразить нельзя в смысле? Так в $D$ ноль будет устранимой особенностью.

[podsekalnikov]

Если честно, не очень понял, что Вы имеете в виду...

-- 15.03.2012, 23:31 --

ну да, конформно отобразить, вроде как

[Padawan]

Пусть $f\colon D\to A$ -- конформное отображение. Функция $f$ ограничена в окрестности точки $z=0$. Поэтому она продолжается по непрерывности в эту точку, причем $f(0)\in \overline A$. Если в $D$ взять замкнутый круг радиуса меньше единицы с центром в нуле, то при помощи продолженного отображения $f$ можно будет организовать непрерывную ретракцию этого круга на свою границу. А это невозможно по теореме Брауэра.

[podsekalnikov]

спасибо! кажется разобрался

[podsekalnikov]

Ваши рассуждения понятны, остался только один неясный момент: почему образ нуля для продолженной функции - это внутренняя точка кольца?

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #549099 писал(а):

Я же наоборот указал на более общий факт, чисто топологический.

Так ведь он же (именно в силу общности) и гораздо более сложный. А к чему?... Ведь подавляющее большинство народонаселения, изучающего ТФКП, никакой топологии вовсе не изучают.

Вот это-то и есть Оккам.

-- Пт мар 16, 2012 23:07:49 --

podsekalnikov в сообщении #549105 писал(а):

почему образ нуля для продолженной функции - это внутренняя точка кольца?

Потому, что ноль -- внутренняя точка круга, а мы уже установили, что функция продолжается до аналитической во всём круге (т.е. вплоть до ноля), а аналитический образ открытого множества открыт.

На самом деле последнее утверждение есть очевидное следствие другого, более технического (которое потом в моей выкладке используется ещё раз): что образ любой окрестности точки аналитичности содержит некоторую окрестность образа центра той исходной окрестности. Что достаточно очевидно следует из разложимости аналитической функции в степенной ряд.

[podsekalnikov]

Большое спасибо, я понял.

[zhoraster]

Продолжение дискуссии отделено в Вопросы преподавания

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #548767 писал(а):

организовать непрерывную ретракцию этого круга на свою границу. А это невозможно по теореме Брауэра.

а как из теоремы Брауэра вытекает невоможность ретракции круга на его граниуцу?

[Padawan]

Oleg Zubelevich.
Ретракт пространства, обладающего свойством неподвижной точки, сам обладает этим свойством. А сфера -- нет. Значит, сфера не является ретрактом шара.