Задачка на Лагранжиан

[srm]

Здравствуйте.
Задачка звучит примерно так: дан Лагранжиан в форме $L = g_{lk}\left(q\right)\dot{q}^l \dot{q}^k$, где $g_{lk}$ - симметричная матрица. Нужно найти обобщённые импульсы, уравнения движения, Гамильтониан и пр. Как решать - вполне понятно.
Единственная проблема, в условии ничего не сказано про то, что матрица $g_{lk}$ не вырождена. Интуитивно понятно, что Лагранжиан в данном случае равен кинетической энергии, следовательно $g_{lk}$ есть ничто иное, как тензор инерции, а он всегда положительно определённый и невырожденный. Как можно строго математически доказать эти свойства?

[srm]

Ещё один момент. Требуется показать, что полная энергия в системе сохраняется. Я нашёл Гамильтониан:

$H=\frac{1}{4}\Gamma^{is}p_{i}p_{s}$, где $\Gamma^{ki}\left(q\right)g_{il}\left(q\right)=\delta_{l}^{k}$

Уравнения движения:

$$\begin{cases} \dot{q}^{i}= & \frac{1}{2}\Gamma^{is}p_{s}\\ \dot{p}_{i}= & -\frac{1}{4}\frac{\partial\Gamma^{ls}}{\partial q^{i}}p_{l}p_{s} \end{cases}$$

Его производная по времени равна:
$\dot{H}=\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\Gamma^{is}}{\partial q^{l}}\dot{q}^{l}\right)p_{i}p_{s}+\frac{1}{2}\Gamma^{is}p_{i}\dot{p}_{s}=\frac{1}{8}\frac{\partial\Gamma^{is}}{\partial q^{l}}\Gamma^{lm}p_{m}p_{i}p_{s}+\frac{1}{2}\Gamma^{is}p_{i}\dot{p}_{s}$

Производная Гамильтониана в силу уравнений движения:
$\frac{1}{8}\left(\Gamma^{mv}\frac{\partial\Gamma^{si}}{\partial q^{v}}-\Gamma^{iv}\frac{\partial\Gamma^{sm}}{\partial q^{v}}\right)p_{s}p_{m}p_{i}$
Нужно показать, что последнее выражение равно нулю. Я это сделал так:
Рассмотрим тензор $T^{msi}=\Gamma^{mv}\frac{\partial\Gamma^{si}}{\partial q^{v}}-\Gamma^{iv}\frac{\partial\Gamma^{sm}}{\partial q^{v}}$
Он антисимметричен: $T^{ism}=\Gamma^{iv}\frac{\partial\Gamma^{sm}}{\partial q^{v}}-\Gamma^{mv}\frac{\partial\Gamma^{si}}{\partial q^{v}}=-\Gamma^{mv}\frac{\partial\Gamma^{si}}{\partial q^{v}}+\Gamma^{iv}\frac{\partial\Gamma^{sm}}{\partial q^{v}}$. Свёртка симметричного тензора $p_{s}p_{m}p_{i}$ (котензора) с антисимметричным $T^{msi}$ равна нулю. Значит и производная $\dot{H}$ равна нулю. Следовательно, полная энергия в системе сохраняется.

Всё ли верно?

[srm]

По первому вопросу, кажется, ответ наклёвывается такой:

Bloch A.M. Nonholonomic Mechanics and control:


Если принять это условие, то всё получается.

[Bulinator]

srm в сообщении #548284 писал(а):

Как можно строго математически доказать эти свойства?

Вы пытаетесь доказать определение. Не выйдет!
Если это просто задача, то это подразумевается по умолчанию.

srm в сообщении #548308 писал(а):

Всё ли верно?

Верно. Но только обратный метрике тензор принято обозначать той же буквой, но с верхними индексами $g^{is}$. $\Gamma$-й обычно обозначают коэффициенты аффинной связности(те же символы Кристоффеля).

[srm]

Bulinator в сообщении #548331 писал(а):

Но только обратный метрике тензор принято обозначать той же буквой, но с верхними индексами

Гхм.. А почему Вы думаете что $g_{lk} g^{ks} = \delta_l^s$? В условии задачи об этом ничего не сказано.

[Bulinator]

Не понял вопроса. Я называю букву с верхними индексами обратной матрицей. И потом думаю, что это- обратная матрица. Или Вы что-то другое имели ввиду?

[srm]

Bulinator в сообщении #548333 писал(а):

Не понял вопроса. Я называю букву с верхними индексами обратной матрицей. И потом думаю, что это- обратная матрица. Или Вы что-то другое имели ввиду?

Я понимаю ковариантные и контрвариантные тензоры. Тут некоторая путаница, как мне кажется. В условии задачи $g_{lk}$ названа матрицей, но по факту это тензор инерции (это так?). Поэтому под $g_{lk}$ я понимаю ковариантный тензор, а под $g^{lk}$ - контрвариантный тензор.

[Bulinator]

А! Вот Вы о чем. Ну тогда просто на коленке докажите, что если $g_{ik}$ ковариантный тензор, то его обратный тензор- контравариантный.

[ИгорЪ]

Симметричную матрицу можно диагонализовать, все расчеты упростятся. Если она вырождена, то соответствующая степень свободы просто заморозится, система редуцируется в меньшую размерность. Хотя я читал работу, где строилась теория гравитации +электромагнетизма на вырожденном метрическом тензоре. Кстати, инерционная интерпетация $g$-матрицы не единственна. Пусть это будет метрика в римановом многообразии, тогда экстремалью будет уравнение геодезических.

[srm]

Bulinator, ИгорЪ, спасбо за помощь.

Помнится мне, Ландау показывал, что для любой механической системы кинетическая энергия всегда представима в виде $T = J(q)_{lk}\dot{q}^l\dot{q}^k$, где $J(q)_{lk}$ - тензор инерции. Потенциальная же энергия $U$ может зависеть только от обобщённых координат, но не от скоростей. Из выражения для функции Лагранжа $L(q, \dot{q}) = T(q, \dot{q})-U(q)$ можно заключить, что в данной задаче Лагранжиан равен кинетической энергии, ибо все слагаемые билинейны по $\dot{q}$. В этом случае $g_{lk}$ должен быть положительно определённым и невырожденным.

[Oleg Zubelevich]

srm в сообщении #548284 писал(а):

Задачка звучит примерно так: дан Лагранжиан в форме $L = g_{lk}\left(q\right)\dot{q}^l \dot{q}^k$, где $g_{lk}$ - симметричная матрица. Нужно найти обобщённые импульсы, уравнения движения, Гамильтониан и пр. Как решать - вполне понятно.
Единственная проблема, в условии ничего не сказано про то, что матрица $g_{lk}$ не вырождена. Интуитивно понятно, что Лагранжиан в данном случае равен кинетической энергии, следовательно $g_{lk}$ есть ничто иное, как тензор инерции,

а вот если точка движется по прямой $\mathbb{R}=\{q\}$ то в формуле $T=m\dot q^2/2$ т.е. $g_{11}=m$. А у тензора инерции размерность вообще другая. Улавливаете или как всегда?

[srm]

Oleg Zubelevich в сообщении #548950 писал(а):

А у тензора инерции размерность вообще другая.

И какую же размерность, по вашему, всегда должен иметь тензор инерции?
Очередной троллинг?

[Oleg Zubelevich]

srm в сообщении #548308 писал(а):

Ещё один момент. Требуется показать, что полная энергия в системе сохраняется. Я нашёл Гамильтониан:

$H=\frac{1}{4}\Gamma^{is}p_{i}p_{s}$, где $\Gamma^{ki}\left(q\right)g_{il}\left(q\right)=\delta_{l}^{k}$

Уравнения движения:

$$\begin{cases} \dot{q}^{i}= & \frac{1}{2}\Gamma^{is}p_{s}\\ \dot{p}_{i}= & -\frac{1}{4}\frac{\partial\Gamma^{ls}}{\partial q^{i}}p_{l}p_{s} \end{cases}$$

Его производная по времени равна:
$\dot{H}=\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\Gamma^{is}}{\partial q^{l}}\dot{q}^{l}\right)p_{i}p_{s}+\frac{1}{2}\Gamma^{is}p_{i}\dot{p}_{s}=\frac{1}{8}\frac{\partial\Gamma^{is}}{\partial q^{l}}\Gamma^{lm}p_{m}p_{i}p_{s}+\frac{1}{2}\Gamma^{is}p_{i}\dot{p}_{s}$

Производная Гамильтониана в силу уравнений движения:
$\frac{1}{8}\left(\Gamma^{mv}\frac{\partial\Gamma^{si}}{\partial q^{v}}-\Gamma^{iv}\frac{\partial\Gamma^{sm}}{\partial q^{v}}\right)p_{s}p_{m}p_{i}$
Нужно показать, что последнее выражение равно нулю. Я это сделал так:
Рассмотрим тензор $T^{msi}=\Gamma^{mv}\frac{\partial\Gamma^{si}}{\partial q^{v}}-\Gamma^{iv}\frac{\partial\Gamma^{sm}}{\partial q^{v}}$
Он антисимметричен: $T^{ism}=\Gamma^{iv}\frac{\partial\Gamma^{sm}}{\partial q^{v}}-\Gamma^{mv}\frac{\partial\Gamma^{si}}{\partial q^{v}}=-\Gamma^{mv}\frac{\partial\Gamma^{si}}{\partial q^{v}}+\Gamma^{iv}\frac{\partial\Gamma^{sm}}{\partial q^{v}}$. Свёртка симметричного тензора $p_{s}p_{m}p_{i}$ (котензора) с антисимметричным $T^{msi}$ равна нулю. Значит и производная $\dot{H}$ равна нулю. Следовательно, полная энергия в системе сохраняется.

Всё ли верно?

любому второкурснику известно, что если гамильтониан не зависит от времени, то он сохраняется (является первым интегралом). И это не зависит от конкретного вида гамильтониана. И доказывается в одну строчку. Но гений, он ведь, прямых путей не ищет

[srm]

Oleg Zubelevich, так что там с тензором инерции? Думаете, можно сказать глупость и не отвечать?

Oleg Zubelevich в сообщении #549156 писал(а):

любому второкурснику известно, что если гамильтониан не зависит от времени, то он сохраняется (является первым интегралом). И это не зависит от конкретного вида гамильтониана. И доказывается в одну строчку.

Любой второкурсник знает, что если Лагранжиан не зависит от времени явно, то энергия сохраняется. Даже Гамильтониан считать не нужно, по виду Лагранжиана можно доказать. Но в условии задачи сказано: "Verify that the Hamiltonian (energy) is conserved along the flow", о чём я написал в сообщении http://dxdy.ru/post548308.html#p548308, а Вы не потрудились прочесть.

[Bulinator]

srm, не обращайте внимания. Бывают люди слишком умные, чтобы общаться с простыми смертными. Вы все правильно сделали. Просто игнорируйте.