Уравнение с параметром

[Twidobik]

При каких значениях параметра а уравнение имеет хотя бы один корень
${2^{2\left| x \right|}} - \left( {a - 3} \right){2^{\left| x \right|}} + 9a - 10 - 2{a^2} = 0$

После замены уравнение становится квадратным и, решая его, как обычное квадратное уравнение с параметром, получаем, что при любых а. Но очевидно, что, к примеру, когда $9a - 10 - 2{a^2} = 0$, уравнение корней не имеет. Естественно, это не все а, при которых уравнение не имеет корней, то есть, которые нам нужно исключить.
Подскажите пожалуйста, как их найти?

[gris]

Вы нашли, что квадратное уравнение относительно новой переменной имеет корни при любых $a$. Но это же не корни исходного уравнения. Надо же вернуться к $x$.
То есть логарифм брать. А логарифм не всегда существует.
Но и это ещё не всё

[Twidobik]

Да, но ведь мы находили не сами корни уравнения, а значения параметра, при котором они существуют. Возвращаться к Х нужно ведь тогда, когда есть корни... Но если взять за корень просто неизвестную, например, C, то получается, что эта С больше нуля и сам весь логарифм больше нуля, откуда получаем, что $c>1$.
Эти рассуждения верны?...

[gris]

Идея верна. Только равенство не строгое. $C$ может равняться 1. Нам же нужен хотя бы один корень. То есть надо найти те значения $a$, при которых хотя бы один корень нашего квадратного уравнения не меньше 1. Достаточно только один из корней поанализировать.

[Twidobik]

Хм... На сколько я понял, задание можно сформулировать так: при каких значениях параметра корни (корень) уравнения не меньше 1. То есть, можно найти те значения параметра а, когда корни меньше 1 и исключить их.
Чтобы найти эти а, должна выполняться система:
$D \geqslant 0$
$f\left( 1 \right)>0$
$ - \frac{b}{{2a}}<1$

Такое решение будет верным?

[gris]

Так там дискриминант полный квадрат. Легко получить непосредственное выражение для большего корня. И решить неравенство с модулем. Ну немного поанализировать.
Можно и по-вашему, но это дольше. Квадратное неравенство считать. Потом дополнение находить, да обосновывать всё. Дискриминант-то по любому надо находить.

[Twidobik]

Если считать по моей системе, то получается $\left[ {0;3,5} \right]$, тогда как по ответу $\left[ {1;3} \right]$ (не удовлетворяют значениям параметра).
А что Вы имеете ввиду под "поанализировать корень"?

[gris]

Я имел в виду, что больший корень квадратного уравнения должен быть не меньше 1.

$\dfrac {a-3+\big|3a-7\big|}{2}\geqslant 1$

И всё.

Откуда Вы взяли 3,5?

[Twidobik]

Аааа, вот о чем Вы говорили. Конечно, так проще, сразу не догадался.
Подставил вместо Х в уравнение единицу и решал второе неравенство в моей системе...

[gris]

Правильно. Но там корни 1 и 3. Вы не $x=1$ должны подставлять, а $C=1$, то есть $x=0$