Как открываются законы математики и логики?

[_hum_]

Misha777, на мой взгляд, вы правы в том, что фундамент математики берется не "с потолка", а ваш оппонент - в том, что этот фундамент не так очевиден, как это могло бы показаться.

[PAV]

(Оффтоп)

Автор вопроса куда-то пропал. Неужели потрясение основ мировоззрения оказалось настолько сильным?

[reg81]

(Оффтоп)

Автор, наверное, послушал всех и теперь законы открывает и открывает

[Lev65]

Почти наивный на первый взгляд вопрос оказался столь фундаментальным,что его автор видимо просто стушевался...
Математика и логика развивались в течении почти трех тысячелетий.Поэтому нынешняя совокупность законов математики и логики есть плод трехтысячелетней практики и теоретических размышлений философов и математиков. Очевидно,что процесс наработки этих законов далеко еще не завершен...

[theambient]

По-первости это достаточно сложно осознать и принять. Я в свое время знакомился с логикой по Коломгорову и Драгалину и мне было очнь сложно понять, символичность логики, что это ТОЛЬКО оперирование символами, которые НЕ НЕСУТ НИКАКОГО СМЫСЛА. Даже говорим, ЗНАЧОК $\forall$ - перевернутое $A$, $\exists$ - перевернутое $E$ и так далее. Это выносит мозг, но постепенно укладывается в голове, либо начинаешь думать что понял .

Как-то раз вечером пятницы возникла небольшая дисуссия на тему "Как же все же открываются математические законы и теоремы? Что движет математиками, что их вдохновляет?".

Основные два тезиса:

• математики интуитивно опираются на реальный мир и все теоремы и законы - лишь формальная запись этих законов, т.е. все идеи и вдохновение к математикам приходят от физиков;
  
• математики задаются неким набором аксиом и начинают выводить какие-то следствия ЧИСТО ФОРМАЛЬНО, не имея никакой картинки в голове.

Как же все же обстоит дело на самом деле? Хотелось бы услышать ваше мнение.

К чему мы пришли тогда: что имеет место быть и то и то, что соответствует двум типам математиков "геометров", которые всегда держат картинку в голове и "алгебраистов", у которых жесткий "pattern matching".

Тут я в своих представлениях об алгебраистах и вообще типах математического мышления могу ошибаться, и мне не понятен второй тип - "алгебраисты", как они работают. Если я наберсь смелости причислять себя к математикам, то несомнено принадлежу к категории "геометров".

Что еще в сухом остатке, что математик может создавать какие угодно миры, но если они не соответствуют реальному миру, то есть не могут быть поставлены на службу физикам, айтишникам и прочим прикладникам, то об этих мирах все просто забудут и они не будут оценены.

Что еще хотелось бы услышать, родились ли какие-нибудь плодотворные теории только в недрах математики, которые не были вдохновлены окружающим миром и прикладными задачами?

В качестве тезиса который подтверждает вторую точку зрения можно привести одну историю с матмеха в недрах которого родилась теория о каком-то специфическом классе функций (в подробности я не вдавался), который активно исследовался, и по которому было защищено несколько диссертаций, финальной точкой которой было доказательство того, что этот класс функций пуст.

Мне часто вспоминается высказывание Рассела "Эмпирическиий философ - раб исследуемого материала, но чистый математик, как и музыкант - свободный творец сосбтвенного мира упорядоченной красоты".

Так ли это? Является ли аксиоматизация лишь полировка теорий или их корнем, по крайней мере для некоторых теорий, скорее всего из алгебры.

Извините за сумбур.

[Профессор Снэйп]

reg81 в сообщении #538068 писал(а):

Меня очень умиляет квадратура круга Тарского. Он, опираясь на аксиому выбора, делит круг на $10^{50}$ частей и простым параллельным переносом собирает квадрат.

Почему именно на $10^{50}$? Откуда такая точная оценка? И меньшим числом частей нельзя обойтись?

[migmit]

Профессор Снэйп в сообщении #548221 писал(а):

reg81 в сообщении #538068 писал(а):

Меня очень умиляет квадратура круга Тарского. Он, опираясь на аксиому выбора, делит круг на $10^{50}$ частей и простым параллельным переносом собирает квадрат.

Почему именно на $10^{50}$? Откуда такая точная оценка? И меньшим числом частей нельзя обойтись?

Мне более интересно, как это сделать при помощи $10^{50}$ частей. Именно круг, а не шар, и квадрат, а не куб.

[epros]

theambient в сообщении #548217 писал(а):

"Как же все же открываются математические законы и теоремы? Что движет математиками, что их вдохновляет?"

Тема какая-то философическая, для математического раздела не очень подходит. И процитированный вопрос в сторону всё той же философии смотрит. Но вот из вопроса про "смысл" значков $\forall$ и $\exists$, по-моему, можно высосать какое-то математическое содержание. Давайте попробуем.

Вот смотрите: На первый взгляд кажется, что без этих значков можно свободно обойтись. Я имею в виду, что утверждения о всеобщности, т.е. типа $\forall x \, \varphi(x)$, можно заменить просто на $\varphi(x)$ - увидев свободную переменную $x$, мы должны автоматически заключить, что утверждение применимо "к любым" значениям переменной. А утверждения о существовании, т.е. типа $\exists x \, \varphi(x)$, можно заменить на $\varphi(\xi)$. В чём разница? А в том, что в отличие от латинской буквы $x$ греческая буква $\xi$ означает не переменную, а константу. Предполагается, что в нашем распоряжении имеется неограниченное количество значков для переменных и для констант и что мы в состоянии отличить одни от других. Такой синтаксис используется в примитивно-рекурсивной арифметике Сколема (PRA). С моей точки зрения его можно рассматривать не только в рамках PRA, а шире: как специфический - бескванторный - вариант логики, промежуточный между исчислением высказываний и исчислением предикатов первого порядка.

То, что этот вариант логики слабее по своим выразительным возможностям, чем исчисление предикатов, ясно из того, что PRA оказывается менее содержательной теорией, чем арифметика Пеано первого порядка. Интересный вопрос заключается в том, что же такое ценное и "содержательное" мы приобретаем, добавив в синтаксис кванторы? Оказывается, что выражения более чем с одним квантором в этом синтаксисе, вообще говоря, невыразимы. Например, как выразить двойную математическую индукцию? Т.е. допустим, что нам известно следующее:

1) $\varphi(0,0)$
2) $\forall x,y ~ \varphi(x,y) \to \varphi(x,y+1)$
3) $\forall x \, [\forall y \, \varphi(x,y)] \to \varphi(x+1,0)$

Понятно, что с помощью математической индукции отсюда можно вывести $\forall x,y ~ \varphi(x,y)$. Как всё это выразить в бескванторном синтаксисе? С формулами (1) и (2) нет никаких проблем, а вот формула (3), по-моему, никак невыразима. Любопытно, что "смысл" этой формулы заключается в переходе индукции "через бесконечность": Мы делаем вывод о верности $\varphi(1,0)$ из предпосылки, что $\varphi(0,y)$ верно для ВСЕХ $y$, коих бесконечное множество.

Как вообще "разумный" и "критически мыслящий" человек может основываться на подобных предпосылках? Верность формулы $\varphi(0,\xi)$ проверяема для любого конкретного $\xi$, но мы же не в состоянии проверить её верность для всех аргументов! И любопытен тот факт, что бескванторная логика именно этого-то нам и не позволяет. Т.е. из верности $\varphi(0,\xi_1)$, $\varphi(0,\xi_2)$, $\varphi(0,\xi_3)$ ... , где в качестве аргументов подставляются какие угодно константы (но в конечном количестве), мы не можем сделать вывод о верности $\varphi(0,y)$, где в аргументе стоит переменная. (Мы можем сделать такой вывод по индукции, используя формулы (1) и (2), но это уже другой разговор).

Получается, что использование в синтаксисе кванторов уже закладывает в логику возможность выхода за пределы "конечных обобщений", реализуемых на практике?

-- Ср мар 14, 2012 17:51:22 --

P.S. Я тут подумал, что можно прибегнуть к "скулемизации" формулы (3) с тем, чтобы получить нечто, выразимое на бескванторном языке. У меня получилось вот что:

$\neg \varphi(x,\xi[x]) \vee \varphi(x+1,0)$, где $\xi[x]$ - некая функция от переменной $x$.

Запись-то бескванторная, но как она может помочь по индукции доказать $\varphi(x,y)$, я так и не врубился.

[Sender]

Профессор Снэйп в сообщении #548221 писал(а):

Почему именно на $10^{50}$? Откуда такая точная оценка? И меньшим числом частей нельзя обойтись?

Что-то мне подсказывает, что у этих частей не может быть спрямляемой границы, т.е. бумажный круг ножницами так разрезать не получится.

[Профессор Снэйп]

Sender в сообщении #548295 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что у этих частей не может быть спрямляемой границы, т.е. бумажный круг ножницами так разрезать не получится.

Более того, боюсь, что "части" вообще могут не являться измеримыми множествами. Слово "разрезать" в подобных формулировках стоит понимать в весьма специфическом смысле.

Настораживает не сам факт, а круглое число $10^{50}$. Интуиция подсказывает, что не могло возникнуть такого числа в теореме.

[theambient]

epros в сообщении #548289 писал(а):

theambient в сообщении #548217 писал(а):

"Как же все же открываются математические законы и теоремы? Что движет математиками, что их вдохновляет?"

Тема какая-то философическая, для математического раздела не очень подходит. И процитированный вопрос в сторону всё той же философии смотрит. Но вот из вопроса про "смысл" значков $\forall$ и $\exists$, по-моему, можно высосать какое-то математическое содержание. Давайте попробуем.

...

Спасибо, было очень интеоресно, не знал про арифметику Сколема, а может быть очень хорошо забыл. А как у нее с полнотой и непротиворечивостью?

Но мой вопрос был о математическом вдохновении и интуиции, о людях, а не исчислениях, что было бы очень интересно услышать.

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #548349 писал(а):

Настораживает не сам факт, а круглое число $10^{50}$. Интуиция подсказывает, что не могло возникнуть такого числа в теореме.

http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_circle-squaring_problem Но там, конечно, "около $10^{50}$".