Докажите Неравенство

[student]

Докажите неравенство:
$\sum\limits_{x=1}^{N}\ln(1+4x^2)>2N\ln N-N$

[Sonic86]

Сильно не старался, но можно $+1$ отбросить (нетрудно проверить, что разница = $O(1)$) и тогда формула Стирлинга дате асимптотически верный результат. Вроде даже сумму можно оценить интегралом...

upd: тут вообще можно через Стирлинга сумму оценивать хоть до какого члена...

[hippie]

Поскольку при $x>0$ функция $\ln(1+4x^2)$ возрастает, то
$\sum\limits_{x=1}^N \ln(1+4x^2) > \int\limits_0^N \ln(1+4x^2)\, dx = N\left(\ln(1+4N^2)-2\right)+\arctg 2N >$
$>N\left(2\ln\sqrt{1+4N^2}-2\right) > N\left(2\ln N +2\ln 2 - 2\right) $ $> N\left(2\ln N - 1\right) = 2N\ln N-N.$

Аналогично доказывается более сильное неравенство:
$\sum\limits_{x=1}^N \ln(4x^2) > 2N\ln N-(2-\ln 4)N+2.$

[student]

Цитата:

Аналогично доказывается более сильное неравенство:
оскольку при $x>0$ функция $\ln(1+4x^2)$ возрастает, то
$\sum\limits_{x=1}^N \ln(4x^2) > 2N\ln N-(2-\ln 4)N+2.$

Ну если использовать преобразование Абеля получается
$\sum\limits_{x=1}^N \ln(1+4x^2) > 2N\ln N-(2-\ln 4)N+1,1.$(Можно еще чуть чуть улучшить)
потому что арктангенс не можеть быт больше 2. :) максимум $\frac{\pi}{2}$. Или я не тот метод использовал? :)

[hippie]

А причём здесь преобразование Абеля?

$\sum\limits_{x=1}^N \ln(4x^2) = \ln 4 + \sum\limits_{x=2}^N \ln(4x^2) \ge$ $\ln 4 + \int\limits_1^N \ln(4x^2)\, dx = 2N\ln N-(2-\ln 4)N+2.$

(Равенство при $N=1,$ строгое неравенство при $N>1.$)