Похоже, что без уравнения 4-й степени действительно не обойтись, но уравнение вполне решаемое.
Область определения функции

:

причём функция убывает на области определения.
Таким образом, задача сводится к нахождению корня уравнения

(причём корень лежит в промежутке

)
Сделав замену

сведём уравнение к виду

причём

Рациональные корни данного уравнения представляются в виде

где

и

— взаимно простые числа, причём

делитель 36, а

— делитель 18.
Возможны 4 случая:

;

;

степень двойки, а

степень тройки;

степень тройки, а

степень двойки.
Единственное число нужного вида, попадающее в промежуток

это

Проверка показывает, что

— корень уравнения.