Неравенство с логарифмом

[yestlmush]

Добрый день!

Подскажите, пожалуйста, действительно ли для решения следующего неравенства
нужно решать уравнение 4й степени? Что-то никак пути проще придумать не могу :(

$\log_{x-2x^2}\dfrac{10\sqrt{x}-6}3<\dfrac 12$

[Praded]

А как у вас 4-я степень получилась?

[gris]

На первый взгляд никаких ухищрений не видится. Решение существует, один его конец можно посчитать точно, а другой через уравнение. Может быть его можно на множители разложить?
Четвёртая степень получается после замены.
Вот если шестёрку заменить на восьмёрку, то можно обойтись уравнением первой степени.

[yestlmush]

gris в сообщении #547912 писал(а):

На первый взгляд никаких ухищрений не видится. Решение существует, один его конец можно посчитать точно, а другой через уравнение. Может быть его можно на множители разложить?
Четвёртая степень получается после замены.
Вот если шестёрку заменить на восьмёрку, то можно обойтись уравнением первой степени.

Хм, а как получается первая степень, если 8?

[gris]

В этом случае области определения правой и левой части не пересекаются. Но в нашем случае всё серьёзно.

+++ hippie, класс!

И всё-таки, что это за задача? Для вступительных и ЕГЭ она не подходит из-за четвёртой степени. Метод решения не очень школьный. Олимпиадная?

[hippie]

Похоже, что без уравнения 4-й степени действительно не обойтись, но уравнение вполне решаемое.

Область определения функции $\log_{x-2x^2}\frac{10\sqrt{x}-6}3$: $\frac 9{25} < x < \frac 12,$ причём функция убывает на области определения.
Таким образом, задача сводится к нахождению корня уравнения $\log_{x-2x^2}\frac{10\sqrt{x}-6}3 = \frac 12$ (причём корень лежит в промежутке $\frac 9{25} < x < \frac 12.$)

Сделав замену $t=\sqrt x$ сведём уравнение к виду $18t^4+91t^2-120t+36=0,$ причём $\frac 35 < t < \frac 1{\sqrt 2}.$
Рациональные корни данного уравнения представляются в виде $t=\frac nm,$ где $n$ и $m$ — взаимно простые числа, причём $n$ делитель 36, а $m$ — делитель 18.
Возможны 4 случая:
$n=1$;
$m=1$;
$n$ степень двойки, а $m$ степень тройки;
$n$ степень тройки, а $m$ степень двойки.
Единственное число нужного вида, попадающее в промежуток $\frac 35 < t < \frac 1{\sqrt 2},$ это $t=\frac 23.$ Проверка показывает, что $t=\frac 23$ — корень уравнения.