Непрерывный оператор локально ограничен

[FFFF]

Здравствуйте!
$A$ - непрерывный (нелинейный) оператор, действующий из $D$ - единичного круга банахова пространства $B$ в $B$
Нужно доказать, что $\forall f \in D \ \exists U_f : \sup_{g \in U_f} \|A g\|<\infty$
Для $f=0$ я доказал, а как можно теперь перенести на произвольный элемент? И зачем здесь единичный круг?

-- 08.03.2012, 19:43 --

Вот такая мысль появилась:
$\forall f \in D$ рассмотрим $F$ - компактное $f \in F \subset D$ Тогда функция $\varphi : F \rightarrow \mathbb{R}$ $\varphi(g)=\|Ag\|$ достигает своего максимального значения на $F$ и в качестве искомой окрестности можно взять какую-нибудь окрестность $f$, содержащуюся в $F$. Проблема - найти такое $F$. Следует ли существование такого множества из каких-нибудь хороших теорем?

[MaximVD]

FFFF в сообщении #546366 писал(а):

Следует ли существование такого множества из каких-нибудь хороших теорем?

Увы, но такого множества нет. Если пространство $B$ бесконечномерно, то внутренность любого компакта (всё в топологии, порождённой нормой) из $B$ пуста.
Что такое единичный круг? Может быть шар? А тогда открытый шар или замкнутый?
Может быть я что-то важное упускаю, но по-моему это очень простая задачка на понимание непрерывности.

[FFFF]

MaximVD в сообщении #546435 писал(а):

Что такое единичный круг? Может быть шар? А тогда открытый шар или замкнутый?

Да, имеется в виду открытый единичный шар.

MaximVD в сообщении #546435 писал(а):

Может быть я что-то важное упускаю, но по-моему это очень простая задачка на понимание непрерывности.

Да, упражнение простое, но вот как-то не получается у меня строго доказать (хотя и нестрого тоже), печаль.

[MaximVD]

FFFF
Вы сперва посмотрите на простой случай. Пусть $B = \mathbb{R}$, $D = (-1, 1)$, и функция $f \colon (-1, 1) \to \mathbb{R}$ - непрерывна. Вам требуется доказать, что для любого $x \in (-1, 1)$ найдётся $\delta > 0$ такое, что $f$ ограничена на $(x-\delta, x+\delta)$. Нарисуйте график, изобразите на графике что означает непрерывности и ...

[FFFF]

MaximVD
Да, конечно, я всё это проделал, всё замечательно и интуитивно понятно, с этим проблем нет. Но нужно ведь доказать строго. Для $\mathbb{R}$ рассуждение с компактами прекрасно проходит.

[FFFF]

Ну я и перемудрил, конечно.
$\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta >0 : \ \forall g \in B_{\delta}(f) \ \|Ag-Af\|< \varepsilon \Rightarrow \|Ag\|<\|Af\|+\varepsilon$. То есть в окрестности любой точки для любого элемента из окрестности норма увеличивается не больше, чем на $\varepsilon$. Теперь, чтобы $\sup$ достигался, нужно взять замыкание шарика $B_{\delta}(f)$ Верно?

[ewert]

FFFF в сообщении #546501 писал(а):

Теперь, чтобы $\sup$ достигался, нужно взять замыкание шарика $B_{\delta}(f)$ Верно?

Нет. В бесконечномерном пространстве супремум вовсе не обязан достигаться.

[FFFF]

ewert в сообщении #546513 писал(а):

Нет. В бесконечномерном пространстве супремум вовсе не обязан достигаться.

Хм, как тогда быть, можно ссылаться на равномерную ограниченность функций $Ag$? Или всё рассуждение неверное?

[ewert]

От вас вовсе не требовалось доказать, что супремум достигается -- требовалась только его конечность.