Квантовая физика.

[Karabas]

Надо проверить правило коммутации для гамильтониана $\hat{H}$ состоящего из кинетической и потенциальной $U(x)$ энергии.
$[\hat{H},\hat{p}^2_x]=2i\hbar\frac{\partial U}{\partial x}\hat{p}_x+\hbar^2\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}$
$(\hat{H}\hat{p}^2_x)\varphi=(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U)(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2})\varphi=\frac{\hbar^4}{2m}\frac{\partial^4\varphi}{\partial x^4}-U\hbar^2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}$
$(\hat{p}^2_x\hat{H})\varphi=(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U)\varphi=(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})(i\frac{\hbar^3}{2m}\frac{\partial^3\varphi}{\partial x^3}-Ui\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial x}-\varphi i \hbar\frac{\partial U}{\partial x})=\frac{\hbar^4}{2m}\frac{\partial^4\varphi}{\partial x^4}-U\hbar^2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}-2\hbar\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial \varphi}{\partial x}-\hbar^2\frac{\partial U}{\partial x}\varphi$
$[\hat{H},\hat{p}^2_x]=(\hat{H}\hat{p}^2_x)-(\hat{p}^2_x\hat{H})=2\hbar\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}+\hbar^2\frac{\partial U}{\partial x}=2i\hbar\frac{\partial U}{\partial x}\hat{p}_x+\hbar^2\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}$
Правильно ли я проверил?

[apv]

Более осторожно это можно сделать, умножив комутатор на какую-нибудь $\psi(x)$-функцию.
Так как $[\hat{T},\hat{p}^2_x]=0$, где $\hat{T}$ -оператор кинетической энергии, то д.б.
$[\hat{H},\hat{p}^2_x]\psi=[\hat{U},\hat{p}^2_x]\psi=(\hat{U}\hat{p}^2_x)\psi-(\hat{p}^2_x\hat{U})\psi$
Ну а дальше расписывайте.