Помогите решить неравенство с логарифмами

[gris]

Я с негодованием возразил бы botу, если бы не был с ним категорически согласен до последней буквы. В Путинские годы детектировались гонения на ОДЗ, в Медведевские его вроде бы начали реабилитировать, а в былые времена без нахождении оного в самом начале решения даже при ненужности, решение могли бы не засчитать и при его фактической правильности. Что будет после падения другой трёхбуквенной аббревиатуры (я имею в виду ЕГЭ, а то подумает кто чего), никто не знает. Впрочем, эти страсти касаются лишь школьных экзаменов.
Я свято верую, что моё шестиинтервальное решение самое разумное, экономное, прозрачное и вообще. ВотЪ.

[ewert]

spaits в сообщении #544984 писал(а):

Или в равенство, если бы это было уравнение.

А вот если бы было уравнение -- то формальной необходимости действительно не было бы.

(Оффтоп)

gris в сообщении #544994 писал(а):

Я свято верую, что моё шестиинтервальное решение самое разумное, экономное, прозрачное и вообще. ВотЪ.

А я не менее свято верую, что Ваше чёрт-те-скольки-интервальное решение абсолютно занудо. Ну исключительно для данного конкретного случая, разумеется. ВотЪ и ваще.

[gris]

Так Вы его и не видели. А под Недрёманым Оком я не решусь его выложить, хотя оно занимает три строчки.

[Praded]

(Оффтоп)

Спорим, не подерётесь?

[spaits]

в сообщении #544833 писал(а):

Раз уж Вы предложили метод интервалов -- будьте последовательны:

$\dfrac{\log_3\frac{x+\frac29}{\sqrt x}}{\log_3(x+\frac29)\cdot\log_3\sqrt x}\leqslant0.$

Достаточно очевидно, что в каждом из четырёх корней как числителя, так и знаменателя это выражение меняет знак. И при этом на бесконечности откровенно положительно. Это позволяет сразу же выписать ответ, безо всякого дальнейшего анализа.

Ваше решение, ewert, красивое.
Однако, безо всякого дальнейшего анализа не обойтись, например, без вывода, что при $x\leqslant0$ функция $\log_3(x+\frac29)$, входящая в неравенство, на самом деле не определена. А что же это такое, как не нахождение ОДЗ и исключение шестого интервала из рассмотрения? Конечно, легче сказать, черт знает, сколько интервалов. Ну так сколько их, спорщики, пять или шесть?

-- Вс мар 04, 2012 03:29:34 --

Уважаемые участники дискуссии, Вы наверное тоже заметили, что у топикстартера пропал интерес к решению задачи?

[gris]

Интервалов десять. Четыре из них — вырожденные в точку. Перед походом на избирательный участок я их обнародую.

$(-\infty,0];\;\left(0,\dfrac19\right);\; \dfrac19;\;\left(\dfrac19,\dfrac49\right);\;\dfrac49;\;\left(\dfrac49;\;\dfrac79\right);\;\dfrac79;\;\left(\dfrac79,1\right);\;1;\;(1,+\infty)$

спасибо, поправил.

[Praded]

(Оффтоп)

Поправьте третий интервал с конца...

[spaits]

в сообщении #545078 писал(а):

Интервалов десять. Четыре из них — вырожденные в точку. Перед походом на избирательный участок я их обнародую.

$(-\infty,0];\;\left(0,\dfrac19\right);\; \dfrac19;\;\left(\dfrac19,\dfrac49\right);\;\dfrac49;\;\left(\dfrac49;\;\dfrac79\right);\;\dfrac79;\;\left(\dfrac79,1\right);\;1;\;(1,+\infty)$

А топикстартеру все равно.
Мне нет. Все четко. Спасибо, gris.

[ewert]

gris в сообщении #545078 писал(а):

Четыре из них — вырожденные в точку.

Это не интервалы.

[spaits]

ewert в сообщении #545109 писал(а):

Это не интервалы.

Ну, множества точек.
Все равно оставшихся "невырожденных" интервалов шесть, а не пять.

[shau-kote]

Всем доброго времени.
Приношу извинения за то, что я выпал из обсуждения, не было возможности выйти в сеть. :(

Да, я догадался перенести всё в одну сторону, привести к общему знаменателю и прийти к выражению
$\frac {\log_3 {\frac {x+\frac 2 9} \sqrt{x}}} {\log_3 {\sqrt{x}} \log_3 ({x+\frac 2 9})}\leqslant 0 $.

Правда, в моём случае это было выражение
$\frac {\log_3 { \frac {\sqrt{x}} {x+\frac 2 9} } } {\log_3 {\sqrt{x}} \log_3 ({x+\frac 2 9})} \geqslant 0 $
, но нетрудно показать, что эти выражения равносильны.

Проблема в том, что при переходе к неравенству, не содержащему логарифмы, мы получим неравенство
$ \frac {(\frac {x+\frac 2 9} {\sqrt{x}} - 1)} {(\sqrt{x}-1)(x+ {\frac 2 9}-1)} \leqslant 0 $
(или $ \frac {(\frac {\sqrt{x}} {x+\frac 2 9} - 1)} {(\sqrt{x}-1)(x+ {\frac 2 9}-1)} \geqslant 0 $).
И если точки, в которых меняет знак знаменатель очевидны, то с числителем всё не так просто. :(

[ewert]

shau-kote в сообщении #545306 писал(а):

Проблема в том, что при переходе к неравенству, не содержащему логарифмы, мы получим неравенство
$ \frac {(\frac {x+\frac 2 9} {\sqrt{x}} - 1)} {(\sqrt{x}-1)(x+ {\frac 2 9}-1)} \leqslant 0 $

Мы ни в коем разе этого не получим. Ни в жисть, даже и не мечтайте!

shau-kote в сообщении #545306 писал(а):

И если точки, в которых меняет знак знаменатель очевидны, то с числителем всё не так просто. :(

Числитель меняет знак там, где аргумент его подлогарифменного выражения сменяет значения, большие единицы на значения, меньшие. Ну а с этим всё ясно. Достаточно просто поставить соотв. неравенство на подлогарифменное выражение.

[shau-kote]

ewert в сообщении #545312 писал(а):

Мы ни в коем разе этого не получим. Ни в жисть, даже и не мечтайте!

Почему это вдруг?

[ewert]

shau-kote в сообщении #545333 писал(а):

Почему это вдруг?

Почему это вдруг?

[shau-kote]

Ну как же. Функции $\log_a x$ и $(x-1)$ при $a>1$ имеют одинаковые интервалы знакопостоянства, поэтому правомерно утверждать, что
$\log_a x \bigvee 0 \Leftrightarrow (x-1) \bigvee 0$.