Экстремальная задача об объёме башни

[Sigurd]

Здравствуйте, задание звучит так:
Ведётся строительство башни, нижняя часть которой имеет форму цилиндра, а верхняя - конуса. Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник. Каким дожен быть радиус основания цилиндрической части, чтобы объём башни был максимальным, если периметр осевого сечения башни равен 90 метров.

Очевидно, что перед нами экстремальная задача. Составляемая функция должна выглядеть примерно следующим образом:
$f(x)=\text{объём цилиндра} + \text{объём конуса}$
Или...
$f(x)=\pi r^2 h_1 + \frac13\pi r^2h_2$
Если мы возьмём за $x$ радиус основания цилиндрической части, то нам необходимо как-то выразить высоты $h_1 \text{ и }h_2$. Осевое сечение цидиндра даст нам прямоугольник, периметр которого будет равен $2(2x+h_1)$. Осевое сечение конуса даёт нам в данном случае равносторонний треугольник. Это означает, что все стороны треугольника равны стороне прямоугольника $2x$. Но при этом я полагаю, что "верхней" стороны прямоугольника нет, т.е. она не входит в общий периметр башни. В таком случае периметр башни можно выразить как $2x+2x+2x+2h_1=90$, что есть $3x+h_1=45$ после упрощения. Теперь мы можем выразить высоту цилиндрической части: $h_1=45-3x$.
Для того, чтобы выразить высоту конуса, воспользуемся теоремой Пифагора: $h_2=\sqrt{(2x)^2-x^2} = \sqrt{3x^2} = |x|\sqrt{3}$
В итоге мы получаем следующую функцию:

$$f(x)=\pi x^2 (45-3x) + \frac13 \pi x^2 \cdot x \sqrt{3}$$

Верен ли ход решения?

[oveka]

Правильно.

[Sigurd]

oveka в сообщении #544677 писал(а):

Правильно.

...хорошо, тогда продолжаем.
Открываем скобки и упрощаем:
$f(x)=\frac{\sqrt3}{3} \pi x^3 - 3 \pi x^3 + 45 \pi x^2$
Думаю, что можно записать также таким образом:
$f(x)=(\frac{\sqrt3}{3}-3) \pi x^3 + 45 \pi x^2$
Теперь переходим к производной:
$f'(x) = 3(\frac{\sqrt3}{3}-3) \pi x^2 + 90 \pi x = (\sqrt{3}-9) \pi x^2 + 90 \pi x$
Для нахождения экстремумов приравниваем производную функцию к нулю:
$(\sqrt{3}-9) \pi x^2 + 90 \pi x = 0 \Rightarrow x((\sqrt3 - 9) \pi x+90 \pi) = 0$
Из получившегося распадающегося уравнения видно, что первый корень равен нулю, а второй равен $x = - \frac{90}{\sqrt3-9} \approx 7.268$
Проверяем выпуклость локальных экстремумов с помощью второй производной:
$f''(x)=(2\sqrt3 - 18) \pi x + 90 \pi$
$f''(0) > 0\rightarrow\text{ это есть минимум}$
$f''(7.268) < 0\rightarrow\text{это есть максимум}$

Найденный максимум вроде даже похож на правду, если его значение подставить на место радиуса.

[faruk]

Sigurd в сообщении #544883 писал(а):

$- \frac{90}{\sqrt3-9} \approx 7.268$

Как это получилось?

[Sigurd]

faruk в сообщении #544983 писал(а):

Как это получилось?

...вот те раз. А получилось это таким образом, что я забыл поделить числитель дроби на знаменатель.
Верный ответ тогда: $x \approx 12.383$