Квадратные колёса

[Ktina]

Какой должна быть дорога, чтобы на ней не трясло телегу с квадратными колёсами?

(XI Математическая олимпиада вузов города Омска)

[nnosipov]

Перевёрнутая цепная линия. Года или два назад, когда этот сюжет появился на www.etudes.ru, стало любопытно подсчитать параметры этой цепной линии (в сюжете никаких вычислений не приводилось).

[Ktina]

nnosipov в сообщении #544566 писал(а):

Перевёрнутая цепная линия. Года или два назад, когда этот сюжет появился на http://www.etudes.ru, стало любопытно подсчитать параметры этой цепной линии (в сюжете никаких вычислений не приводилось).

Можно ли доказать единственность решения?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #544568 писал(а):

Можно ли доказать единственность решения?

Да, во всяком случае, если линию профиля дороги считать гладкой.

[svv]

Может быть, возможен ещё вариант, когда ось не в центре квадрата. Тогда единственность лишь при заданной оси.
(Сейчас представил, что дорога не снизу, а сверху)

[vorvalm]

Чтобы ребра квадратных колес не проскальзывали на кривой поверхности дороги, необходим определенный коэффициент трения, иначе, когда квадрат будет на вершине кривой, он может соскальзнуть, и телегу начнет трясти.
Кстати, длина одного выступа кривой должна быть равна длине ребра квадрата (при центральной оси).

[svv]

А точка касания должна быть точно под осью.

[vorvalm]

Расчет цепной линни простой.
Длина дуги полной ветви равна стороне квадрата.
Прогиб $h=\sqrt {0,5}-0,5$

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #544693 писал(а):

Расчет цепной линни простой.

Самое интересное в задаче --- это доказать, что профиль дороги будет именно цепной линией. Это совсем не очевидно.

[vorvalm]

Точность кривой здесь необязательна.
Достаточно выполнить условия.
Кроме ранее указанных, производные в точках схождения кривых
должны быть равны$\pm 1.$
Если цепная линия удовлетворяет этим условиям, то так оно и есть.

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #544747 писал(а):

Точность кривой здесь необязательна.

Вы не поняли смысла задачи. Возможно, это произошло из-за расплывчатости формулировки (фразу "телегу не трясло" можно истолковать по разному). Имелось в виду следующее: центр колеса должен двигаться прямолинейно.

vorvalm в сообщении #544747 писал(а):

Достаточно выполнить условия.
Кроме ранее указанных, производные в точках схождения кривых
должны быть равны$\pm 1.$

Проверки именно этих условий недостаточно. Необходимо хотя бы проверить, что цепная линия удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению. И сама цепная линия возникнет только тогда, когда это дифференциальное уравнение будет решено. Главный вопрос в задаче --- почему профиль дороги должен быть в виде именно цепной линии, а не каким-нибудь иным.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #544734 писал(а):

Самое интересное в задаче --- это доказать, что профиль дороги будет именно цепной линией. Это совсем не очевидно.

В Инете есть такой расчет (см. п.3).

Выдвину и свою версию. Но не исключаю, что это та же кривая , но описанная "другими словами".

Если вокруг квадратного колеса, развернутого на $45$ градусов, описать окружность, а затем разбить эту окружность на $n$ равных частей, то получим равные углы $\alpha=\dfrac {2\pi}{n}$.
Отметим на оси $x$ отрезок, равный $2\pi R= 2\pi a\sqrt {2}$.
Разделим полученный отрезок на $n$ частей.
Ордината для каждой полученной абциссы траектории квадратного колеса будет равна $ y_m=a\cdot \left( \sqrt {2} - \dfrac {1}{|\cos \alpha m|} \right) $, где $m$ пробегает целые значения от $0$ до $n$.

-- 03 мар 2012 20:18 --

А еще в Инете есть наглядное видео (см. внизу).

[Ktina]

Батороев в сообщении #544862 писал(а):

В Инете есть такой расчет (см. п.3).

Огромное спасибо за ссылку! Сама бы я не нашла.

[nnosipov]

Батороев в сообщении #544862 писал(а):

В Инете есть такой расчет (см. п.3).

Конечно, должен быть где-то, поскольку, как выясняется, сюжет был аж на Соросовской олимпиаде, т.е. довольно давно. Но я впервые увидел его на сайте этюдов.

[Батороев]

Ktina в сообщении #544866 писал(а):

Сама бы я не нашла.

Я его сразу обнаружил, забив в поисковике "дорога для квадратного колеса".