А Вы уверены, что в неевклидовой геометрии этот результат справедлив?...
Не знаю, но вполне возможно.
Вобще-то данный вопрос возник при попытке доказать теорему Пифагора исходя из, так скажем, общих свойств треугольника, площади, и из того факта, что площадь треугольника как функция стороны имеет максимум.
Попробуем опираться при доказательстве на следующие "общие" свойства:
1. Сумма углов треугольника равна

.
2. Площадь "заметаемая" радиусом

(площадь сектора) при изменении угла на малую величину

равна

(Это свойство - следствие того, что площадь круга пропорцциональна квадрату радиуса, а полный угол равен

)
Далее. Напомню, что мы обозначили стороны треугольника

,

,

, где

и

постоянны, а

изменяется от

до

(полагаем

). (Представьте "шарнирный" треугольник с изменяющейся длиной одной из трех сторон)
Обозначим углы треугольника

-угол между сторонами

и


-угол между сторонами

и


-угол между сторонами

и

В процессе данной "деформации" треугольника при изменении длины

на малую величину

углы тр-ка также отклоняются на малые величины, но так, чтобы выполнялось равенство(это следствие св-ва 1.):

А для изменения площади треугольника имеем очевидные соотношения(св-во 2.):

Из этих трех соотношений получим:

И, наконец, используем свойство экстремальности площади:
При каком-то значении угла

должно быть

,
откуда в точке максимума имеем:
