Постоянная Эйлера

[Macavity]

М.Кац,С.Улам. Математика и логика. Ретроспектива и перспектива:

Цитата:

Существуют числа, для которых до сих пор не установлено, рациональны они или нет, несмотря на то, что легко описать, как они получены. Одним из таких чисел является постоянная Эйлера, определяемая следующим образом. Рассмотрим ряд 1+${\frac{1}{ 2}}$ + $\frac{ 1}{ 3}$+...+$\frac{1}{n}$+...; n-я частная сумма (т.е. сумма первых n членов) этого ряда близка к log n. Разность между этой суммой и log n при возрастании стремится к некоторому пределу; его называют постоянной Эйлера и обозначают буквой С. Известно, что C \approx 0,6. Несмотря на старания многих математиков, вопрос о том, рационально или нет число C, остался открытым; вполне возможно, что оно даже не алгебраическое!

Это было написано, примерно в 1970 годы. А что теперь - это до сих пор не выяснено? И имеет ли постоянная Эйлера какую-то связь с другими разделами теории чисел (простые числа и т.д.)?

[maxal]

См. http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html

[Macavity]

maxal писал(а):

См. http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html

Спасибо за ссылку...

Выходит, что воз и ныне там... За это время...

[Руст]

Константа Эйлера сложная для доказательства иррациональности. Пока не решён даже вопрос о существовании рациональных $r_1,r_2$, что $\pi =er_1+r_2.$

[Macavity]

Руст писал(а):

Константа Эйлера сложная для доказательства иррациональности. Пока не решён даже вопрос о существовании рациональных $r_1,r_2$, что $\pi =er_1+r_2.$

Здесь e - это основание натуральных алгоритмов?
А для других математических констант - \varphi=er_1+r_2 ?

[Руст]

Macavity писал(а):

$\pi =er_1+r_2.$
Здесь e - это основание натуральных алгоритмов?
А для других математических констант - \varphi=er_1+r_2 ?

Да.

[arqady]

Как доказать, что число

$$\lim\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}-\ln n\right)$$

иррационально? Спасибо.

[Gafield]

Неизвестно, является ли постоянная Эйлера рациональным числом.
Как сказано в "Конкретной математике", если кто и знает, то молчит ))

[maxal]

http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html

The famous English mathematician G. H. Hardy is alleged to have offered to give up his Savilian Chair at Oxford to anyone who proved $\gamma$ to be irrational (Havil 2003, p. 52), although no written reference for this quote seems to be known. Hilbert mentioned the irrationality of gamma as an unsolved problem that seems "unapproachable" and in front of which mathematicians stand helpless (Havil 2003, p. 97). Conway and Guy (1996) are "prepared to bet that it is transcendental," although they do not expect a proof to be achieved within their lifetimes.

[arqady]

Спасибо, maxal! Не знал. Эту задачу мне мои ученики дали на выходные!

[grisania]

Недавно узнал, что никто не знает - константа Эйлера-Маскерони

$$\gamma = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1} {2} + \cdots + \frac{1} {n} - \ln n} \right) \approx 0,577$$

иррациональна?
http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html
http://myyn.org/m/article/eulers-constant/

Интересно знать с чем это связано.
Не известны формулы для $\gamma$ по структуре столь же простые как для $\pi $ и $e$, например,

$$\frac{\pi } {4} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \frac{1} {3} + \frac{1} {5} - \cdots + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}} {{2n - 1}}} \right),$$

,

$$\gamma = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1} {2} + \cdots + \frac{1} {n} - \frac{1} {{n + 1}} - \frac{1} {{n + 2}} - \cdots - \frac{1} {{{n^2}}}} \right).$$

Темы объединены.

[meduza]

"Бог не загромождает мир огромными знаменателями" (Эйнштейн). Маловероятно, что она рациональна, но доказать обратного пока не удалось.

[Mathusic]

А как вы оцениваете эту "малую вероятность"?

[Хорхе]

Вероятность того, что случайно выбранное число окажется алгебраическим, равна нулю :)

[Aleksandrito]

Ирациональность числа в общем смысле определяется отсутвием периодичности в значениях числа.
Поэтому для меня вопрос о иррациональности константы Эйлера как и числа $\pi $ давно закрыт.