Непрерывная функция

[rauan]

Задача.Что такое непрерывное отображение из множества $\{0,1,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1n,\ldots\}$ в $\mathbb{R}$?
Мое решение: один из способов ввести топологию в множестве $\{0,1,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1n,\ldots\}$ это индуцированная топология из $\mathbb{R}$. В этой топологии любое подмножество $\{0,1,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1n,\ldots\}$ открыто. То есть индуцированная топология на $\{0,1,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1n,\ldots\}$ есть дискретная топология. Но любое отображение из дискретного топологического пространства в любое другое топологическое пространство всегда непрерывно.
Вопросы:
1)Есть ли ошибки в приведенных рассуждениях?
2) Если нет, решена ли задача до конца?

[hippie]

Могу ответить только на первый вопрос.

(Оффтоп)

Впрочем, с точки зрения формальной логики, на второй вопрос ответ "да". Поскольку из ложного утверждения следует всё что угодно.

Ошибки в рассуждениях точно есть.
Индуцированная топология не дискретная, поскольку в $\mathbb{R}$ это множество содержит предельную точку 0. (И, соответственно, множество состоящее из одной точки 0 в индуцированной топологии не открыто.)

[rauan]

Хорошо, согласен. Какую топологию можете предложить на множестве $\{1,0,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1n,\ldots\}$ ?