Количество двоек в разложении факториала

[Ktina]

Для каждого $n\in\mathbb N$ определим $f(n)$ как число двоек в разложении числа $n!$ на множетели.
Например, $f(10)=5+2+1=8$.

Конечно или бесконечно множество всех $n$, для которых $n-f(n)=2012$?

[venco]

Ktina в сообщении #543930 писал(а):

Для каждого $n\in\mathbb N$ определим $f(n)$ как число двоек в разложении числа $n!$ на множетели.
Например, $f(10)=5+2+1=8$.

Конечно или бесконечно множество всех $n$, для которых $n-f(n)=2012$?

Это все числа, в бинарной записи которых ровно 2012 единиц.

[Ktina]

venco в сообщении #543931 писал(а):

Это все числа, в бинарной записи которых ровно 2012 единиц.

Ух ты! А я недоглядела. У меня ответ получился из соображений непрерывности. Очевидно, $f(2^k)=1$, а $f(2^k-1)=k$. Если мы будем пошагово уменьшать число с $2^k-1$ до $2^{k-1}$, то разность "приплывёт" к единичке. Но так как на каждом шаге эта разность либо уменьшается на единичку, либо вовсе не уменьшается, то достаточно взять любое $k>2012$, и мы обязательно попадём в 2012 на некотором шаге.

Кому интересно, задача взята вот отсюда (стр. 232, задача 9).