Расширение комплексных чисел

[erwins]

Возможно ли сделать расширение комплексных чисел Галуа (т.е включающих множитель переводящий комплексное в сопряженное) без делителей нуля?

1. Для действительных
2. Для целых
3. Для конечных
4. Для рациональных.

все мои попытки ушли в землю....
вроде не нашел и запрета, но и не получил и конструкт.

[Joker_vD]

Я не понял, чего вы хотите — поле комплексных чисел алгебраические замкнуто, поэтому у него нету расширений Галуа (если не считать само поле). Или вы построить его целостное расширение (как кольца)?

[erwins]

мне хочется расшить комплексные числа до комплексных чисел с константой умножение на которую будет приводить к сопряженному.
соотвественно хочется понять когда это можно получить без делителей нуля.

[Joker_vD]

Это невозможно: пусть вы ввели такую "константу" $\gamma$, тогда $\gamma=1\cdot\gamma=\overline1=1$, а с другой стороны, $\gamma=-i^2\gamma=-i\cdot(i\gamma)=-i\cdot\overline{i}=-i\cdot(-i)=-1$.

И вообще, откуда такое желание — превратить автоморфизм поля в элемент расширения этого поля?

[erwins]

Ввести константу без расширения не возможно(это изначально понятно). Но можно ли расширить поле комплексных чисел? например как вариант я рассматривал декартово произведение комплексных чисел, но там есть делители нуля. Вопрос как быть с расширением для конечного вообще не чувствую как подступиться.

[Joker_vD]

erwins в сообщении #542951 писал(а):

Но можно ли расширить поле комплексных чисел?

Что значит "расширить"? Можно расширить как поле — это мы строим поле, которое будет содержать исходное поле как подполе. Можно расширить как кольцо — это мы строим кольцо, которое будет содержать исходное поле как подкольцо. Да, поле комплексных чисел можно расширить в обеих смыслах: $\mathbb C(x)$, $\mathbb C[x]$.

И я еще раз обращаю ваше внимание, что подобной "константы" быть не может: она должна будет одновременно равняться единице и минус единице.

[erwins]

Т.е. никаким расширением не возможно построить такое поле либо кольца?

[PAV]

erwins
Вам ведь уже написали (дважды), какие следствия получаются из попытки подобного расширения.

[erwins]

Как минимум этого можно достичь за счет потери коммутативности умножения. Если другие варианты потерь свойств которые помогут реализовать подобный механизм?

[ИСН]

Вышеописанное рассуждение не использовало коммутативность умножения.

-- Ср, 2012-02-29, 22:48 --

Только ассоциативность.