Основы вторичного квантования

[rotozeev]

Самое начало. Введение полевых операторов $\hat\psi^+(x),\, \hat\psi(x)$ и выражение через них других операторов, в частности - запись гамильтониана в этих обозначениях. Во всех учебниках приводится сразу ответ. Это просто очевидно:

Я же никак не могу понять как это получается. Так выходит, что делается переход типа такого:
$\hat H = \sum_{i,k}a_i^+a_k<i|\hat H_1|k> = \int\,dx\sum_{i,k}a^+_i\varphi^*_i(x) \hat H_1 a_k \varphi_k(x) = ? =\int\,dx\left(\sum_{i}a^+_i\varphi^*_i(x)\right) \hat H_1\left(\sum_{k}a_k\varphi_k(x)\right)$

То есть суммы от произведений как бы факторизуются на произведение от сумм. Ну в случае, когда базисные функции $\varphi_i(x)$ являются собственными для одночастичного гамильтониана $\hat H_1$, то лишние перекрестные слагаемые от такой факторизации просто равны 0 в силу ортогональности набора $\varphi_i(x)$. Но и то, про это явно нигде не говорится, это просто мои соображения. А как быть для слагаемого межчастичного взаимодействия вообще неясно. Какие слова нужно приговаривать при получении формул (1.5) и (1.6) указанные на скриншоте?

[Himfizik]

Я не очень понял вопроса. И заранее извиняюсь за возможные ляпы, которые могу допустить. Изложу то, что я сам помню из этой науки.

Вводим операторы рождения и уничтожения. Вводим оператор числа частиц: $\widehat N=\sum\limits_{i} a_i ^\dagger a_i$. Наш гамильтониан должен дать, в конечном счете, $n_1 E_1+n_2 E_2+...$ Этому удовлетворяет оператор такого вида: $\widehat H=\sum\limits_{i} E_i a_i ^\dagger a_i.$
Теперь хотим добраться до систематического способа строить операторы. Углядим, что вышенаписанный гамильтониан можно записать и так: $\widehat H=\int \widehat\psi^\dagger H \widehat\psi dr$, где $\widehat \psi(r)=\sum\limits_{i}a_i \psi _i(r)$ - некий оператор, а $H$ - одночастичный гамильтониан.

Проверка:

$\int \widehat\psi^\dagger H \widehat\psi dr=\int (\sum\limits_{i}a_i ^\dagger\psi _i^*)H(\sum\limits_{k}a_k \psi _k) dr=\sum\limits_{i,k}a_i^\dagger a_k (\int \psi_i^*H \psi_k dr)=\sum\limits_{i,k}a_i^\dagger a_k(\delta_{ik}E_k)=\sum\limits_{i} E_i a_i ^\dagger a_i$

[Alex-Yu]

rotozeev в сообщении #542473 писал(а):

Какие слова нужно приговаривать при получении формул (1.5) и (1.6) указанные на скриншоте?

Надо не слова приговаривать, а просто вывести. Брете случай N частиц и показываете, что из обычной координатной теории получаются те же результаты что и из вторично квантованной. Для любого N. Кстати, обычно в учебниках допускают некоторую вольность речи. Вторично квантованные операторы это не операторы в неком специальном представлении, это РАСШИРЕНИЕ операторов, определенных на пространстве функций с определенным числом частиц, на прямую сумму таких пространств с разными числами частиц. Математически это другие операторы. Вполне понятно это все изложенно в "Статистической физике" ("статистической механике"? не помню точно) Фейнмана.

[rotozeev]

Спасибо. Кажется, я просто не с той стороны начал.