мера шара в гильбертовом пространстве

[rauan]

1) Докажите, что единичный шар в бесконечномерном гильбертовом пространстве содержит
бесконечное число трансляций некоторого шара радиуса $r$.
2) Каково максимально возможное значение $r$ ?
3) Докажите, что для любой трансляционно инвариантной меры в бесконечномерном гильбертовом пространстве $\mu(B_1)=+\infty.$

Интуитивно ясно, что наверно нужно показать, что в нашем шаре бесконечно много непересекающихся шаров положительной меры, и отсюда как-то вывести, что мера самого шара бесконечна. Примем на веру, что как-то мера на гильбертовом пространстве взялась. Помогите пожалуйста решить эту задачу!!!!

[ewert]

rauan в сообщении #542390 писал(а):

нужно показать, что в нашем шаре бесконечно много непересекающихся шаров положительной меры, и отсюда как-то вывести, что мера самого шара бесконечна

Следует это тривиально -- из аддитивности меры, её монотонности (это более-менее аксиомы) и предположения о трансляционной инвариантности. В качестве таких шариков достаточно взять окрестности элементов любой ортонормированной последовательности (ну и потом перемасштабировать).

[rauan]

Можно подробнее про трансяционно инвариантные меры? Это аналог инвариантности относительно сдвига для классической меры Лебега?

[ewert]

Ну а что это ещё могло бы быть?

[rauan]

Как понимать трансляцию подшара некоторого радиуса $r$ в шар? Вращения подшара вокруг своега центра? Тогда это как-то совсем очевидно? Что имеется виду под трансляций шара? И неясно вообще как оценить это $r$.

[ewert]

Трансляция -- это параллельный перенос.