Эквивалентность континумов

[ewert]

PAV в сообщении #541745 писал(а):

здесь проще всего метнуть гранату в виде Кантора-Бернштейна

Не стоит. Это будет не граната -- это будет пушка. Та, что по воробьям.

[svloyso]

ИСН в сообщении #541737 писал(а):

Это пока Вы не попробовали то число, которое разобьётся на 0.1111111... и 1.000000...

Я предполагал, что единичный квадрат открыт, поэтому 1.00000000... в этом множестве нет.
Я всё равно не понимаю, где там дырка. Я поднимаю под словом "дырка" именно отсутствие такого элемента, который должен соответствовать значению "дырки", то есть существование "дырок" равносильно отсутствию сюрьективности. Я верно понимаю? Но ведь для числа 0.1919191919191919... такая пара существует, и она равна (0.11111111..., 09999999999...).

ewert в сообщении #541740 писал(а):

svloyso
То, на чём Вы застряли -- это общая теорема: при добавлении к любому бесконечному множеству любого счётного (тем более конечного) множества его мощность не изменится. Попытайтесь найти эту теорему в вашем курсе; она там наверняка есть, и именно в этом абстрактном варианте. После чего все недоумения насчёт конкретных отрезков и т.п. становятся уже праздными.

Ваше же негодование обусловлено, скорее всего, инстинктивной привычкой к непрерывности отображений, встречающихся на практике. Но если речь о мощностях -- никакой непрерывности даже не то что не предполагается: даже само это понятие в этой теме не предусмотрено.

У нас курс функционального анализа сжат, я учусь на специальности 010400 - информационные технологии, бакалавриат. И вашей теоремы конкретно в лекциях я не нашел, но если поискать по списку лит-ры, я уверен, она там будет.
По поводу добавления границ к интервалу проблемы уже нет, я осознал как это можно сделать, это окончательно устаканилось у меня в голове и недоразумений больше не вызывает.

По поводу разложения квадрата в отрезок посредством "кодирования" пары чисел одним, я начинаю догадываться, только про "дырки", о которых говорит ИСН, я еще не понял.

PAV в сообщении #541745 писал(а):

На мой взгляд, здесь проще всего метнуть гранату в виде Кантора-Бернштейна, которая все одним махом решит. Ее все равно знать надо при изучении этой темы.

(Не надо строить биекцию. Вложение отрезка в прямоугольник строится очевидным образом, теперь постройте обратное вложение, не требуя инъективности - там проблем не будет).

Если я не путаю, то теорема Кантора-Бернштейна гласит, что если для произвольных множеств А и В существуют биекции, отображающие А в подмножество В и В в подмножество А, то А эквивалентно В.
Как отобразить отрезок в подмножество квадрата действительно не вызывает проблем, а обратное вложение - это как раз то вложение $0.x_1y_1x_2y_2\ldotsx_ny_n\ldots$, о котором упоминалось ранее? И даже если в нем есть дыры, то по теореме это не вызывает проблем. Я всё правильно понимаю?

[PAV]

svloyso в сообщении #541753 писал(а):

(0.11111111..., 09999999999...)

Вторая последовательность не является числом. Число не может заканчиваться бесконечной последовательностью девяток. В этом-то и кроется проблема.

[Nemiroff]

Смотрите, $1.00000\dots$ нет, а $0.9999999\dots$ есть. А эти числа различаются? Если да, то насколько?

[PAV]

svloyso в сообщении #541753 писал(а):

а обратное вложение - это как раз то вложение $0.x_1y_1x_2y_2\ldotsx_ny_n\ldots$, о котором упоминалось ранее? И даже если в нем есть дыры, то по теореме это не вызывает проблем. Я всё правильно понимаю?

Обратное вложение - это из двух чисел получить одно. Это делается именно так, как Вы написали. Поскольку оба исходных числа не оканчиваются на девятки (хватило бы и одного), то и полученная в результате объединения последовательность тоже не оканчивается на девятки, то есть действительно является десятичной формой записи некоторого числа. Однако полученное отображение не является биекцией, так как оно не сюръективно: последовательность типа 0.19191919... не может быть получена таким образом. Но нам это не важно, так как нам нужна инъекция, а она имеет место быть.

[svloyso]

PAV в сообщении #541754 писал(а):

svloyso в сообщении #541753 писал(а):

(0.11111111..., 09999999999...)

Вторая последовательность не является числом. Число не может заканчиваться бесконечной последовательностью девяток. В этом-то и кроется проблема.

Дошло, я понял! Спасибо.
Осталось понять, как эти дырки заткнуть. Пока что у меня мыслей нет.

PAV в сообщении #541756 писал(а):

svloyso в сообщении #541753 писал(а):

а обратное вложение - это как раз то вложение $0.x_1y_1x_2y_2\ldots x_ny_n\ldots$, о котором упоминалось ранее? И даже если в нем есть дыры, то по теореме это не вызывает проблем. Я всё правильно понимаю?

Обратное вложение - это из двух чисел получить одно. Это делается именно так, как Вы написали. Поскольку оба исходных числа не оканчиваются на девятки (хватило бы и одного), то и полученная в результате объединения последовательность тоже не оканчивается на девятки, то есть действительно является десятичной формой записи некоторого числа. Однако полученное отображение не является биекцией, так как оно не сюръективно: последовательность типа 0.19191919... не может быть получена таким образом. Но нам это не важно, так как нам нужна инъекция, а она имеет место быть.

Хорошо, я всё понял, благодарю за объяснения.


Используя теорему Кантора-Бернштейна я доказательство понял. А как доказать её не используя? Точнее осталось разобраться со способом устранения "дыр".

[ewert]

svloyso в сообщении #541758 писал(а):

Осталось понять, как эти дырки заткнуть.

"Дырки" -- это неоднозначность представления конечной десятичной дроби: то ли завершением на нули, то ли на девятки. Однако множество подобных случаев не более чем счётно (т.е. оно просто счётно, конечно; но в любом варианте не более чем счётно) -- просто потому, что подобные дроби соответствуют некоторому подмножеству рациональных чисел. И, следовательно, на сравнение мощностей никак повлиять не может.

[svloyso]

ewert в сообщении #541764 писал(а):

svloyso в сообщении #541758 писал(а):

Осталось понять, как эти дырки заткнуть.

"Дырки" -- это неоднозначность представления конечной десятичной дроби: то ли завершением на нули, то ли на девятки. Однако множество подобных случаев не более чем счётно (т.е. оно просто счётно, конечно; но в любом варианте не более чем счётно) -- просто потому, что подобные дроби соответствуют некоторому подмножеству рациональных чисел. И, следовательно, на сравнение мощностей никак повлиять не может.

Отлично, я всё понял, вопросов у меня больше не осталось.
Благодарю всех за объяснения.