Линейные и квадратичные по скоростям интегралы

[scwec]

Пусть $\mu=(M^n,T,\omega)$ - механическая система, где $M^n$ -конфигурационное многообразие с координатами $q^1,...,q^n$, $n$ -число степеней свободы,
$T=a_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j$ - кинетическая энергия - невырожденная квадратичная форма скоростей, $\omega=\omega_i{dq^i}$ силовая форма.
Уравнения Лагранжа $\frac{d}{dt}(\frac{\partial{T}}{\partial{\dot q^i}})=\frac{\partial{T}}{\partial{q^i}}+\omega_i$.
Докажем утверждение: $\mu$ имеет первый интеграл линейный по скоростям $F=b_i{\dot {q}^i}$ тогда и только тогда, когда на $M^n$ существует векторное поле $X$ такое, что производная Ли $L_X(T)=0$ и $\omega(X)=0$.
Доказательство.Пусть $F=b_i{\dot {q}^i}$ существует. Поскольку $T$ - невырождена, существует единственный набор $\xi^i$ такой, что $a_{ij}\xi^i=b_j$. Тогда $F=a_{ij}\xi^i\dot {q}^j=\frac{\partial{T}}{\partial\dot {q}^i}\xi^i$. Определим $X=\xi^i\frac{\partial}{\partial{q^i}}$

$$\frac{dF}{dt}=0$$ $$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{T}}{\partial\dot {q}^i}\xi^i)=\frac{d}{dt}(\frac{\partial{T}}{\partial\dot {q}^i})\xi^i+\frac{\partial{T}}{\partial\dot {q}^i}\frac{d\xi^i}{dt}=\frac{\partial{T}}{\partial{q^i}}\xi^i+\omega_i{\xi^i}+\frac{\partial{T}}{\partial\dot {q}^i}\frac{d\xi^i}{dt}=\frac{\partial{T}}{\partial{q^i}}L_X({q^i})+\frac{\partial{T}}{\partial\dot {q}^i}L_X({\dot {q}^i})+\omega_i\xi^i=L_{X}(T)+\omega(X)$$

Таким образом $L_{X}(T)+\omega(X)=0$ и $L_X(T)=0$, $\omega(X)=0$. Необходимость доказана. Достаточность доказывается в том же духе. Кстати, при $\omega=dU$ достаточность - это теорема Э.Нётер.
Теперь о квадратичных интегралах.
После такого длинного вступления предлагается доказать следующее утверждение.
$\mu$ имеет первый интеграл квадратичный по скоростям вида $V=(b_i\dot {q}^i)^2+U(q^1,...,q^n)$ тогда и только тогда, когда
существует векторное поле $X$ такое, что $L_X(T)=0$ и 1-форма $\omega(X)\Omega_X$ точна. Где $\Omega_X=a_{ij}\xi^j{dq^i}$, $\xi^i$ - компоненты поля $X$.

[Oleg Zubelevich]

Было бы неплохо проделать это все, особенно первую теорему, для случая уравнений Лагранжа со множителями (неголономная динамика). Соответствующее обобщение теоремы Нетер для таких уравнений отмечалось Козловым.

[svv]

Непонятен такой момент. Выражения $L_X T$ или $L_X \dot q^i$, по-моему, требуют, чтобы был смысл у производных $\frac{\partial\dot q^i}{\partial q^i}$, но ведь $\dot q^i$ не являются функциями $q^i$: в данной точке многообразия скорости могут быть разными.

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #541931 писал(а):

Непонятен такой момент. Выражения $L_X T$ или $L_X \dot q^i$, по-моему, требуют, чтобы был смысл у производных $\frac{\partial\dot q^i}{\partial q^i}$, но ведь $\dot q^i$ не являются функциями $q^i$: в данной точке многообразия скорости могут быть разными.

очевидно имелась ввиду производная Ли от ковариантного тензора $a_{ij}$

[scwec]

Oleg Zubelevich ответил верно. Но, конечно, здесь есть некоторая вольность с моей стороны, которая принципиальной не является.
По поводу неголономных систем отвечу чуть позже.

[svv]

Спасибо! А $L_X \dot q^i$ как следует понимать?

[Oleg Zubelevich]

а еще есть уравнения Эйлера-Пуанкаре на алгебрах Ли это я перебираю возможные версии первой теоремы

[svv]

А, это у меня заскок был. Спасибо, всё понятно.

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #541697 писал(а):

Было бы неплохо проделать это все, особенно первую теорему, для случая уравнений Лагранжа со множителями (неголономная динамика). Соответствующее обобщение теоремы Нетер для таких уравнений отмечалось Козловым.

Пусть на систему наложены линейные дифференциальные связи $\omega^{k+1}=...=\omega^n=0$, где $\omega^i$ - 1-формы. Выберем еще $k$ форм $\omega^1,...,\omega^k$ так, чтобы они вместе с формами связи были линейно независимы. Определим $n$ векторных полей $X_i$: $\omega^j(X_i)={\delta_i}^j$. Коммутаторы $[X_i,X_j]={c}^s_{ij}{X_s}$. Введем параметры Пуанкаре $\eta^i=\frac{\omega^i}{dt}$
Пусть $T=a_{ij}\eta^i{\eta^j}$- невырожденная квадратичная форма. Все индексы до этого момента $\le{n}$.
$\omega=w_i\omega^i$ - силовая форма, $i\le{k}$.
Уравнения движения запишем в форме Пуанкаре-Четаева (Больцмана-Гамеля).
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{T}}{\partial{\eta^i}})={c}^s_{ij}\eta^j\frac{\partial{T}}{\partial{\eta^s}}+X_i(T)+w_i$, где ${i,j}\le{k},s\le{n}$. К ним добавляются еще $n-k$ уравнений связей $\eta^{k+1}=...=\eta^n=0$.
Теперь пора разделить голономные и неголономные системы.
Если связи интегрируемы (голономная система), то ${c}^s_{ij}=0$ при ${i,j}\le{k}$, $s\ge{k+1}$
(поля $X_1,...,X_k$ образуют замкнутую систему). И можно положить в выражении $T$ $\eta^{k+1}=...=\eta^{n}=0$ т.е. ${i,j,s}\le{k}$.
Если же связи неинтегрируемы (неголономная система), то $X_1,...,X_k$ не образуют замкнутой системы и нельзя положить в выражении для $T$ $\eta^{k+1}=...=\eta^{n}=0$, ведь в правой части стоят производные
$T$ по этим переменным. В голономном случае эти производные убиваются ${c}^s_{ij}=0$ при $s\ge{k+1}$.
Отсюда сразу видно, что при попытке доказать необходимость для неголономных систем, как это было сделано в моем первом сообщении,
мы получаем поле $X$, которое может и не быть линейной комбинацией полей $X_1,...,X_k$. Повторить успех для неголономных систем таким методом не получается.
Если говорить о достаточности, в т.ч. о теореме Нётер, то она справедлива и для неголономных систем в предположении, что поле $X$ лежит среди полей возможных перемещений.
При таких условиях это и было доказано Козловым и Колесниковым. Но они исходили из общего принципа Даламбера.
Из приведенных уравнений движения это также легко следует.
Замечу, что меня-то больше интересовали квадратичные интегралы. Вопрос из первого сообщения.

[Oleg Zubelevich]

понятно

[scwec]

Приведу пример, где работает утверждение о квадратичных интегралах.
$T=\frac{1}{2}m_i{\dot {q}_i}^2$. $i=1,2,3$, потенциальная функция $U_{-2}$ - однородная степени $-2$ по разности координат.
Поле $X=m_2{m_3}(q_2-q_3)\frac{\partial}{\partial{q_1}}+m_1{m_3}(q_3-q_1)\frac{\partial}{\partial{q_2}}+m_2{m_1}(q_1-q_2)\frac{\partial}{\partial{q_3}}$.
Проверяется, что $L_X(T)=0$, $X(U_{-2})\Omega_X=dw$, т.е. выполнены условия существования квадратичного первого интеграла.
Заведем переменные $u=\frac{q_1-q_2}{q_2-q_3}$, $v=m_1{m_2}{m_3}((q_1-q_3)\dot {q}_2+(q_3-q_2)\dot {q}_1+(q_2-q_1)\dot {q}_3)$
Тогда искомый первый интеграл запишется так: $F=\frac{1}{2}v^2+\int{\theta(u)du}$, где

$$\theta(u)=(m_1{m_2}{m_3}(q_2-q_3))^2(\frac{q_1-q_3}{m_2}\frac{\partial{U_{-2}}}{\partial{q_2}}+\frac{q_3-q_2}{m_1}\frac{\partial{U_{-2}}}{\partial{q_1}}+\frac{q_2-q_1}{m_3}\frac{\partial{U_{-2}}}{\partial{q_3}})$$

.
Очевидно, что к потенциальной функции можно добавить любой первый интеграл поля $X$, например, $m_i{q_i}^2$. Первый интеграл $F$ не меняется.