Тригометрическое уравнение

[Айват]

Помогите решить тригонометрическое уравнение, очень долго решал, пытался по разному упрощать, преобразовывать, но увы ничего не получилось.
$(1+\frac{1}{\sin x})\cdot(1+\frac{1}{\cos x})=3+2\sqrt{2}$

Это только на первый взгляд оно кажется легким, но это впечатление обманчиво. Буду благодарен просто за подсказки.

[Praded]

К половинному углу не пробовали перейти, включая единицу в числителе после умножения скобок?

[Айват]

Praded, попробовал сейчас, но возникает ощущение бесперспективности. Мне кажется, в этой задаче есть какая-то изюминка, какая-то остроумная замена или что-то в этом роде, после чего, уравнение решилось бы легко. Это уравнение решали всей группой, так и не смогли одолеть. Сейчас хочу узнать решение просто для себя, стало интересно как же оно все таки решается.

[a_nn]

Универсальная тригон.подст. вроде бы помогает. Лень досчитывать, но уравнение решабельное. А ответ видно какой ("один из" точнее, видно ведь?)

[VPro]

Заметьте, что $3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2$. Посмотрите, что будет при $\sin x=\cos x$.

[a_nn]

VPro в сообщении #541548 писал(а):

Заметьте, что $3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2$. Посмотрите, что будет при $\sin x=\cos x$.

Но надо же еще показать, что другого не бывает.

[INGELRII]

Хорошее уравнение, мне понравилось. Красивое.

Значит, так. Прежде всего домножаем уравнение на $\sin x \cos x$. Получаем уравнение вида $(1+\sin x)(1+\cos x)=...$ Это обозначим уравнение (1). Теперь раскроем в нем скобки, домножим на минус единицу и прибавим к обеим частям $2 \sin x \cos x$. И разложим левую часть на множители. Получим уравнение вида $(1-\sin x)(1-\cos x)=...$, что обозначим уравнение (2). Теперь перемножим соответственные части уравнений (1) и (2). После очевидных упрощений мы замечаем, что теперь можно ввести новую переменную $y=\sin x \cos x$. И наше уравнение чудесным образом превращается в квадратное!

[hippie]

При положительных значениях $\sin x$ и $\cos x$ всё получается легко.
Раскройте скобки и примените неравенство между средними:

$\left(1+\frac 1{\sin x}\right)\left(1+\frac 1{\cos x}\right) = 1+ \left(\frac 1{\sin x} +\frac 1{\cos x}\right) + \frac 1{\sin x\cdot \cos x} \ge 1+ \frac 2{\sqrt{\sin x\cdot \cos x}} + \frac 1{\sin x\cdot \cos x} = 1+ \frac {2\sqrt 2 }{\sqrt{\sin 2x}} + \frac 2{\sin 2x} \ge 3+\sqrt 2 ;$
причём равенство может достигаться только при $\sin x = \cos x.$ (Проверкой убеждаемся, что такие $x$ подходят.)

Если $\sin x$ и $\cos x$ разных знаков, то левая часть уравнения отрицательна.
Наконец, если $\sin x$ и $\cos x$ отрицательны, то левая часть уравнения меньше 1, в чём легко убедиться, переписав её в виде $\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\cdot\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}.$

[Айват]

INGELRII в сообщении #541555 писал(а):

И разложим левую часть на множители. Получим уравнение вида $(1-\sin x)(1-\cos x)=...$, что обозначим уравнение (2).

У меня что-то не получается как у вас.. На множители не разлагается таким образом, после раскрытия скобок и преобразование по вашему совету, у меня получается $\sin x\cos x - \sin x - \cos x - 1 =...$ и на множители как у вас оно уже не разлагается, т.к. должно получится было у меня $\sin x\cos x - \sin x - \cos x + 1 =...$
Если ошибаюсь в этом моменте, то поправьте. И еще, а можно ли перемножать уравнения (1) и (2)? Это разве не повлияет на ответ?

[INGELRII]

А, забыл. Да, добавить надо было не $2 \sin x \cos x$, а $2 \sin x \cos x+2$. Тогда все разложится как надо.

Насчет умножения - ну, если у нас есть два уравнения $a=b, c=d$, где $a,b,c,d$ - некоторые выражения от $x$, и $x_0$ является корнем обоих этих уравнений, то он также будет и корнем уравнения $ac=bd$. Это я имел в виду. В обратную сторону это будет верно лишь при том условии, когда уравнения $a=b, c=d$ равносильны. Но у нас это также выполнено, поскольку (2) получено из (1) элементарными преобразованиями, не добавлюющими/убирающими корней.

[a_nn]

Не понимаю, чем плоха универсальная тригонометр.подстановка?

[INGELRII]

Тем, что мое решение красивей.

[a_nn]

Конечно, Ваше лучше :)
Но если школьник готовится к ЕГЭ и не знает об универсальной подст. ("пытался по разному упрощать, преобразовывать"), то это, по-моему, надо ему освоить как раз.

[Айват]

a_nn, INGELRII, hippie, VPro спасибо вам большое! Разобрался!

a_nn
я не готовлюсь к ЕГЭ, я студент и учусь на 3 курсе Тригонометрию к сожалению, уже забыл. Тригонометрические уравнения решали на 1 курсе, формулы, да и методы все позабылись, да и математики уже нету. Вы будете смеяться, наверное, но математику я знаю достаточно хорошо, в свое время на региональных олимпиадах становился призером. Вот так вот бывает.
INGELRII
Ваше решение мне понравилось, действительное красивое

[marij]

Можно еще также после раскрытия скобок и приведения к общему знаменателю воспользоваться заменой $ y=\cos{x}+\sin{x} $ отсюда после возведения в квадрат $ \y^2 = 1 + 2\sin{x}\cos{x}$ или $ 2\sin{x}\cos{x}= y^2-1$ тем самым получая квадратное уравнение