Доказать свойство площади треугольника

[druggist]

Продолжим.
Из теорем синусов и косинусов для зависимости квадрата площади $S^2(c^2)$ от квадрата стороны $c^2$ ,если я ничего не путаю, имеем простое соотношение:

$S^2(c^2)=S_m^2-(1/16)(c_m^2-c^2)^2$,

где $S_m^2$ и $c_m^2$ квадрат площади в максимуме и координата максимума соответственно. Вопрос прежний, можно ли как-то вывести этот результат, не используя формул планиметрии(теорем косинуса, синуса, соотношений для трапеции и проч., так или иначе использующих теорему Пифагора?

[ewert]

druggist в сообщении #541261 писал(а):

, так или иначе использующих теорему Пифагора?

А Вы уверены, что в неевклидовой геометрии этот результат справедлив?...

[druggist]

ewert в сообщении #541263 писал(а):

А Вы уверены, что в неевклидовой геометрии этот результат справедлив?...

Не знаю, но вполне возможно.

Вобще-то данный вопрос возник при попытке доказать теорему Пифагора исходя из, так скажем, общих свойств треугольника, площади, и из того факта, что площадь треугольника как функция стороны имеет максимум.

Попробуем опираться при доказательстве на следующие "общие" свойства:
1. Сумма углов треугольника равна $\pi$.
2. Площадь "заметаемая" радиусом $r$ (площадь сектора) при изменении угла на малую величину $\delta\gamma$ равна $(1/2)r^2\delta\gamma $ (Это свойство - следствие того, что площадь круга пропорцциональна квадрату радиуса, а полный угол равен $2\pi$)

Далее. Напомню, что мы обозначили стороны треугольника $a$, $b$, $c$, где $a$ и $b$ постоянны, а $c$ изменяется от $a-b$ до $a+b$ (полагаем $a>b$). (Представьте "шарнирный" треугольник с изменяющейся длиной одной из трех сторон)
Обозначим углы треугольника
$\gamma$ -угол между сторонами $a$ и $b$
$\alpha $ -угол между сторонами $a$ и $c$
$\beta $ -угол между сторонами $c$ и $b$
В процессе данной "деформации" треугольника при изменении длины $c$ на малую величину $\delta c$ углы тр-ка также отклоняются на малые величины, но так, чтобы выполнялось равенство(это следствие св-ва 1.):

$\delta\gamma=-(\delta\alpha+\delta\beta)$
А для изменения площади треугольника имеем очевидные соотношения(св-во 2.):

$\delta S(c)=(1/2)a^2\delta\gamma+(1/2)c^2\delta\alpha$
$\delta S(c)=(1/2)b^2\delta\gamma+(1/2)c^2\delta\beta$
Из этих трех соотношений получим:

$\delta S/\delta \gamma=(1/4)(a^2+b^2-c(\gamma)^2)$

И, наконец, используем свойство экстремальности площади:
При каком-то значении угла $\gamma$ должно быть
$\delta S/\delta \gamma=0$,
откуда в точке максимума имеем:

$a^2+b^2=c^2$

[gris]

Теорема Пифагора связана с аксиомой о параллельных. Вывести её можно самыми разными способами, да и вообще можно саму принять за аксиому в качестве замены "пятого постулата".
Последовательность определений и теорем может быть совершенно разной и более относится к методике преподавания конкретного курса геометрии. Теорему Пифагора в школе обычно доказывают через разрезания, через подобные треугольники, через свойства площадей.
В общем, без евклидовости не обойтись. В неевклидовых геометриях тоже есть аналоги. Теорема, вероятно, глубинным способом связана со свойствами метрики рассматриваемого пространства.
Интересен также факт, что именно ТП мне попалась на вступительном экзамене.

[druggist]

Да, в предыдущем доказательстве основное, конечно же, вот эти два соотношения:

$\delta S(c)=(1/2)a^2\delta\gamma+(1/2)c^2\delta\alpha$
$\delta S(c)=(1/2)b^2\delta\gamma+(1/2)c^2\delta\beta$

Надо, наверное, пояснить откуда они берутся. В пером случае мы "зажимаем в струбцинку" большую сторону $a$ и при малом удлинении $c$ у нас поворачивается на малый угол сторона $b$. Соотношение для изменения площади возникает из рассмотрения площадей старого и нового "сдеформированного" треугольника. Аналогично второе соотношение. Поскольку изменение площади не зависит от смещения треугольника как целого эти изменения площади равны.
Насчет различных доказательств ТП... Насколько мне известно, во многих док-вах используется понятие площади(треугольника). Так, считается определенной площадь квадрата со стороной a ($a^2$), а площадь треугольника(прямоугольного) и ТП возникают в манипуляциях с "разрезаниями", "перемещениями" треуг. как целого, "склеиваниями". Полагается, что эти операции ясны и прозрачны, что не требуют какого-либо определения. Есть ли какой либо кардинально другой способ доказательства ТП?

[ewert]

druggist в сообщении #544492 писал(а):

у нас поворачивается на малый угол

Нет евклидовости -- нет и углов.

[svv]

ewert

[druggist]

ewert в сообщении #544494 писал(а):

Нет евклидовости -- нет и углов.

В смысле угол треугольника зависит от длин сторон, площади, т.е., нет подобия?

[ИСН]

Ну да. Там подобны только равные треугольники. И сумма углов не пи. Видите, сколько нам открытий чудных.

[druggist]

Ну а какая, собственно, трагедия, в неевклидовом пространстве углы треугольника теряют, так сказать, масштабную инвариантность.(Хотя скорее всего появляется коэффициент преобразования, как, например, для площади $k^2$) Но это же не повод их(углы) совсем не рассматривать

[ewert]

druggist в сообщении #544497 писал(а):

В смысле угол треугольника зависит от длин сторон, площади, т.е., нет подобия?

Нет. Просто само понятие угла имеет смысл лишь при наличии евклидовой структуры. Пусть локальной (если пространство искривлено), но -- евклидовой.

[gris]

Без понятия площади доказательство несложное. Опускаем высоту на гипотенузу и из подобия трёх треугольников получаем, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилегающий к катету отрезок гипотенузы. Складываем квадраты катетов и выносим за скобку гипотенузу. Разумеется, везде имеются в виду длины отрезков.
Но тут есть подобие треугольников. Его определение и признаки подобия.

[druggist]

ewert в сообщении #544504 писал(а):

если пространство искривлено

Я имел в виду неевклидову геометрию, конечно же, а что такое неевклидово пространство, я плохо себе представляю

[druggist]

Ах да, совсем забыл, я ведь что-то слышал о неевклидовом ультраметрическом пространстве(усиленное неравенство треугольника, кажется). Там действительно углов нет, да и самих прямоуг. треугольников тоже нет, только равнобедренные.

[svv]

ewert писал(а):

Нет. Просто само понятие угла имеет смысл лишь при наличии евклидовой структуры. Пусть локальной (если пространство искривлено), но -- евклидовой.

Чем дальше в лес...
По-Вашему, геометрия неевклидова $\Rightarrow$ геометрия локально неевклидова?
Вот, например, сферическая геометрия -- неевклидова, а углы есть.