Вопрос по базису и размерности

[Andrei94]

Допустим у нас есть два вектора $\vec a= (1,1,0)^T$ u $\vec b=(0;0;1)^T$, нужно проверить - являются ли они базисом в

a) $R^2$.

b) $R^3$

c) $R^4$



Очевидно, что они линейно независимы.

Осталось проверить - любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов или нет

a) да, так можно любой вектор в двумерном пространстве разложить по этим 2.

б) нет, так как не хватает еще одного вектора?

в) нет, так как не хватает еще 2 векторов.

Правильно?

Правильно ли я понимаю, что эти вектора являются базисом в только $R^2$ и его подпространствах?

[мат-ламер]

Andrei94 в сообщении #540950 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что эти вектора являются базисом в только и его подпространствах?

Я не догоняю как эти векторы на плоскости помещаются.

[Andrei94]

мат-ламер в сообщении #540971 писал(а):

Andrei94 в сообщении #540950 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что эти вектора являются базисом в только и его подпространствах?

Я не догоняю как эти векторы на плоскости помещаются.

А где же они еще могут тогда поместиться?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #540971 писал(а):

Я не догоняю как эти векторы на плоскости помещаются.

Так, а если плоскость натянуть на эти векторы? Будет ли это $R^2$? Или это будет подпространство из $R^3$, изоморфное $R^2$? Понимать можно по-разному.

[Andrei94]

мат-ламер в сообщении #541032 писал(а):

мат-ламер в сообщении #540971 писал(а):

Я не догоняю как эти векторы на плоскости помещаются.

Так, а если плоскость натянуть на эти векторы? Будет ли это $R^2$? Или это будет подпространство из $R^3$, изоморфное $R^2$? Понимать можно по-разному.

А я думал, что на любые два линейно-независимые вектора можно натянуть плоскость, притом только одну. Можете привести контр-пример?

[PAV]

Указанные Вами векторы лежат в $R^3$ и не лежат ни в $R^2$, ни в $R^4$. Поэтому пункты a) и c) не имеют смысла. С таким же успехом можно было бы спросить, являются ли базисом в $R^2$, например, функции $x$ и $x^2$.

[Andrei94]

PAV в сообщении #541073 писал(а):

Указанные Вами векторы лежат в $R^3$ и не лежат ни в $R^2$, ни в $R^4$. Поэтому пункты a) и c) не имеют смысла. С таким же успехом можно было бы спросить, являются ли базисом в $R^2$, например, функции $x$ и $x^2$.

То есть даже не важно количество векторов? То есть размерность пространства - это количество координат вектора, которые в нем лежат? Т.е. указанные векторы не являются базисом ни в каком пространстве?

[мат-ламер]

Andrei94 в сообщении #540950 писал(а):

Осталось проверить - любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов или нет

a) да, так можно любой вектор в двумерном пространстве разложить по этим 2.

Если Вы считаете, что это базис в $R^2$, тогда в явном виде выпишете разложение.

Andrei94 в сообщении #541077 писал(а):

То есть даже не важно количество векторов?

Непонятно, откуда такие выводы.

Andrei94 в сообщении #541077 писал(а):

Т.е. указанные векторы не являются базисом ни в каком пространстве?

Непонятно, откуда такие выводы.

[Andrei94]

мат-ламер в сообщении #541087 писал(а):

Если Вы считаете, что это базис в $R^2$, тогда в явном виде выпишете разложение.

$\vec x=\alpha_1(1,1,0)^T+\alpha_2(0;0;1)^T$

$\forall \vec x\in R^2$

Нас просто не интересует компонента $z$ или ей нельзя просто так "пренебречь"?

[PAV]

Базис линейного пространства может состоять только из векторов, входящих в это пространство.

Дайте, пожалуйста, определение пространств $R^2, R^3, R^4$. Что представляют собой вектора, входящие в эти пространства?
Можете привести хотя бы по одному примеру вектора из каждого из этих пространств.

[Andrei94]

Цитата:

То есть даже не важно количество векторов?

Понял, я не прав.

-- 20.02.2012, 22:16 --

Andrei94 в сообщении #541077 писал(а):

Т.е. указанные векторы не являются базисом ни в каком пространстве?

Это я имел ввиду то, что раз эти вектора не являются базисом в $R^3$, то они не могут уже являться базисом в $R^n$, для всех натуральных $n$, так как у него 3 компоненты. Я не прав?

[PAV]

Andrei94 в сообщении #541094 писал(а):

Это я имел ввиду то, что раз эти вектора не являются базисом в $R^3$, то они не могут уже являться базисом в $R^n$, для всех натуральных $n$, так как у него 3 компоненты. Я не прав?

Совершенно неважно, являются ли эти векторы базисом в $R^3$, или нет. Поскольку у них три компоненты, то они просто не входят ни в какое $R^n$, кроме $R^3$. Все, больше никаких слов произносить не надо.

[Andrei94]

PAV в сообщении #541093 писал(а):

Базис линейного пространства может состоять только из векторов, входящих в это пространство.

Дайте, пожалуйста, определение пространств $R^2, R^3, R^4$. Что представляют собой вектора, входящие в эти пространства?
Можете привести хотя бы по одному примеру вектора из каждого из этих пространств.

Спасибо, что помогаете разобраться, а то совсем запутался.

Я напишу - как сам понимаю...

$R^1$ - пространство векторов, лежащих на одной прямой. Для того, чтобы однозначно определить положение точки в этом пространстве, достаточно одной координаты. В базисе будет один вектор.

$R^2$ - множество векторов, лежащих на плоскости. Для того, чтобы однозначно определить положение точки в этом пространстве, достаточно двух координат. В базисе будет два вектора.

$R^3$ - пространство векторов, лежащих в обычном трехмерном пространстве. Для того, чтобы однозначно определить положение точки в этом пространстве, достаточно трех координат. В базисе будет три вектора.

$R^4$ - множество векторов, лежащих в четырехмерном пространстве. Для того, чтобы однозначно определить положение точки в этом пространстве, достаточно четырех координат. В базисе будет 4 вектора.

[svv]

А Вы знаете, почему везде компонент у вектора столько же, сколько базисных векторов?
Потому что

(Ответ)

$k$-я компонента по определению -- это коэффициент при $k$-м базисном векторе в разложении данного вектора по базису.

[PAV]

Andrei94 в сообщении #541100 писал(а):

Я напишу - как сам понимаю...

Нет, плохо написано. Надо так.

Элементами векторного пространства $R^2$ являются упорядоченные пары чисел $(x,y)$. Операции над ними (сложение и умножение на числа) производятся покомпонентно.

Элементами пространства $R^3$ являются упорядоченные тройки $(x,y,z)$. Операции определяются аналогично.

Ну и так далее.

-- Вт фев 21, 2012 00:03:09 --

В Ваших определениях фигурируют плоскости, трехмерные, четырехмерные пространства... Это уже суть эти самые пространства $R^n$, то есть Вы пытаетесь их определить через самих себя. так нельзя.