ВТФ с точки зрения симметрических функций.

[ishhan]

ВТФ или то, что сумма двух степеней $n$ не может быть целым числом записывают в виде невыполнимости алгебраического выражения:
$x^n+y^n=z^n$
Хотя с тем же смыслом ВТФ можно записать и как:

$$(z-x)^n+(z-y)^n=(x+y)^n$$

Здесь те же две степени $n$ образуют сумму в левой части и в правой части стоит третье число и так же степень целого числа. Верится, что это не вызывает сомнений у постоянных обитателей этого раздела, как и то что существуют другие помимо этой записи эквиваленты ВТФ, например:

$$x^n+y^n=(x+y-z)^n$$

Алгебраически правильная запись должна подразумевать применимость не только к положительным, но и отрицательным числам, а так же иметь хорошо видимые свойства инвариантности.
Привожу, с моей точки зрения, один из красивых примеров записи ВТФ для положительных и отрицательных чисел обозначенных символами $x,y,z$

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$$

Эта алгебраическая запись для чётных $n$ обладает свойствами симметрической формы от четырёх переменных: $x,y,z,s$, которые связаны соотношением $x+y+z+s=0$.

[venco]

ishhan в сообщении #540507 писал(а):

Привожу, с моей точки зрения, один из красивых примеров записи ВТФ для положительных и отрицательных чисел обозначенных символами $x,y,z$

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$$

Эта алгебраическая запись для чётных $n$

Эта запись для чётных $n$ не эквивалентна ВТФ.
Да и для нечётных её можно использовать только с дополнительными ограничениями. Не забывайте, что уравнение ВТФ не имеет решения только в натуральных числах, а уже в неотрицательных целых - имеет.

[ishhan]

venco в сообщении #540516 писал(а):

ishhan в сообщении #540507 писал(а):

Привожу, с моей точки зрения, один из красивых примеров записи ВТФ для положительных и отрицательных чисел обозначенных символами $x,y,z$

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$$

Эта алгебраическая запись для чётных $n$

Эта запись для чётных $n$ не эквивалентна ВТФ.
Да и для нечётных её можно использовать только с дополнительными ограничениями. Не забывайте, что уравнение ВТФ не имеет решения только в натуральных числах, а уже в неотрицательных целых - имеет.

Конечно же для чётных $n$ она не эквивалентна ВТФ.
Для чётных чисел тема давно закрыта и всем известно доказательство Ферма.
Речь о том, что для чётных степеней $n $ эта запись обладает свойствами симметрической формы от четырёх переменных.

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=(-s-z)^n+(-s-y)^n+(-s-x)^n=0$$

И конечно, мной подразумевалось, что показатели степени $n$ простые не чётные числа .
Двойку иногда язык не поворачивается назвать простым числом, хотя в семье, как говориться, не без урода.
P.S. Приведите пожалуйста, если Вас не затруднит, пример таких решений, можно даже в целых гауссовых числах, исключив тривиальные случай.

[nnosipov]

ishhan в сообщении #540535 писал(а):

Для чётных чисел тема давно закрыта и всем известно доказательство Ферма.

Не путайте. Ферма доказал теорему только для $n=4$, а не для любого чётного $n$.

[ishhan]

nnosipov в сообщении #540549 писал(а):

ishhan в сообщении #540535 писал(а):

Для чётных чисел тема давно закрыта и всем известно доказательство Ферма.

Не путайте. Ферма доказал теорему только для $n=4$, а не для любого чётного $n$.

Но вопрос о чётных степенях старше четырёх сводится к доказательству ВТФ для простых чисел начиная с тройки. Не так ли?

[venco]

ishhan в сообщении #540535 писал(а):

Речь о том, что для чётных степеней $n $ эта запись обладает свойствами симметрической формы от четырёх переменных.

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=(-s-z)^n+(-s-y)^n+(-s-x)^n=0$$

И конечно, мной подразумевалось, что показатели степени $n$ простые не чётные числа .

Вы перечитывайте иногда то, что написали. Вот тут у вас $n$ и чётное и нечётное. Сначала определитесь, а потом продолжим.

ishhan в сообщении #540535 писал(а):

Двойку иногда язык не поворачивается назвать простым числом, хотя в семье, как говориться, не без урода.

Симптоматично.

[ishhan]

venco в сообщении #540567 писал(а):

ishhan в сообщении #540535 писал(а):

Речь о том, что для чётных степеней $n $ эта запись обладает свойствами симметрической формы от четырёх переменных.

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=(-s-z)^n+(-s-y)^n+(-s-x)^n=0$$

И конечно, мной подразумевалось, что показатели степени $n$ простые не чётные числа .

Вы перечитывайте иногда то, что написали. Вот тут у вас $n$ и чётное и нечётное. Сначала определитесь, а потом продолжим.

Алгебраическая запись

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$$

эквивалентна ВТФ только для не чётных показателей $n$
Но ни что нам не мешает рассмотреть её свойства симметрии и для чётных показателей.
Так, в традиционной записи ВТФ, которую в большинстве случаев рассматривают для простых не чётных показателей, нет ни каких признаков симметричности от четырёх переменных в случае чётных $n$
$x,y,z,s$, где $x+y+z+s=0$.
.

[venco]

ishhan в сообщении #540591 писал(а):

Алгебраическая запись

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$$

эквивалентна ВТФ только для не чётных показателей $n$
Но ни что нам не мешает рассмотреть её свойства симметрии и для чётных показателей.

Ещё раз: какое отношение это уравнение при чётных $n$ имеет к ВТФ? Никакое. Почему вы его обсуждаете в этом разделе?
Более того, при чётных $n$ ваше уравнение имеет тривиальное и единственное решение.

[ishhan]

venco в сообщении #540615 писал(а):

ishhan в сообщении #540591 писал(а):

Алгебраическая запись

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$$

эквивалентна ВТФ только для не чётных показателей $n$
Но ни что нам не мешает рассмотреть её свойства симметрии и для чётных показателей.

Ещё раз: какое отношение это уравнение при чётных $n$ имеет к ВТФ? Никакое. Почему вы его обсуждаете в этом разделе?
Более того, при чётных $n$ ваше уравнение имеет тривиальное и единственное решение.

А эти тривиальные решения ведь будут справедливы и для не чётных $n$?
И у Ферма была изначально словесная форма уравнения, и не было ни каких алгебраических записей на полях Арифметики Диофанта!

-- Вс фев 19, 2012 20:18:40 --

venco в сообщении #540516 писал(а):

ishhan в сообщении #540507 писал(а):

Привожу, с моей точки зрения, один из красивых примеров записи ВТФ для положительных и отрицательных чисел обозначенных символами $x,y,z$

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$$

Эта запись для чётных $n$ не эквивалентна ВТФ.
Да и для нечётных её можно использовать только с дополнительными ограничениями.

Интересно, хотя пардон уже проехали, какие будут ограничения для не четных $n$ и положительных и отрицательных$x,y,z$ ?
Ни каких!

[nnosipov]

Совершенно не видно предмета для обсуждения. Какая-то бессмыслица, автор не понимает чего хочет.

[venco]

ishhan в сообщении #540635 писал(а):

venco в сообщении #540615 писал(а):

ishhan в сообщении #540591 писал(а):

Алгебраическая запись

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$$

эквивалентна ВТФ только для не чётных показателей $n$
Но ни что нам не мешает рассмотреть её свойства симметрии и для чётных показателей.

Ещё раз: какое отношение это уравнение при чётных $n$ имеет к ВТФ? Никакое. Почему вы его обсуждаете в этом разделе?
Более того, при чётных $n$ ваше уравнение имеет тривиальное и единственное решение.

А эти тривиальные решения ведь будут справедливы и для не чётных $n$?

Да. И не решения, а решение. Одно. $x=y=z=0$.

ishhan в сообщении #540635 писал(а):

И у Ферма была изначально словесная форма уравнения, и не было ни каких алгебраических записей на полях Арифметики Диофанта!

Естественно. Алгебраическую запись ещё не придумали.

ishhan в сообщении #540635 писал(а):

venco в сообщении #540516 писал(а):

ishhan в сообщении #540507 писал(а):

Привожу, с моей точки зрения, один из красивых примеров записи ВТФ для положительных и отрицательных чисел обозначенных символами $x,y,z$

$$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$$

Эта запись для чётных $n$ не эквивалентна ВТФ.
Да и для нечётных её можно использовать только с дополнительными ограничениями.

Интересно, хотя пардон уже проехали, какие будут ограничения для не четных $n$ и положительных и отрицательных$x,y,z$ ?

$x\ne0, y\ne0$
Иначе подходит вышеприведённое решение $x=y=z=0$, которое не соответствует натуральным решениям исходного уравнения Ферма.

[ishhan]

nnosipov в сообщении #540673 писал(а):

Совершенно не видно предмета для обсуждения. Какая-то бессмыслица, автор не понимает чего хочет.

Просто предлагаю обсудить и обратить внимание на другие эквивалентные записи ВТФ и в частности на $(x+y)^n+(x+z)^n+(z+x)^n=0$ , а не зацикливаться на заезженном уравнении $x^n+y^n=z^n$, которое уже давно у всех сидит в печёнках.
И кроме того повторю ещё раз то, что происхождение алгебраической записи всем известного уравнения скорее всего принадлежит редактору рукописей П.Ферма , а не самому Ферма.

-- Вс фев 19, 2012 21:58:17 --

Так всё таки, venco, о каких ограничениях идёт речь?
Тривиальный случай исключаем.
Чем Вам не мило уравнение:$(x+y)^n+(x+z)^n+(y+z)^n=0$
Если речь идёт о $n$ не чётном и $x,y,z$ положительные и отрицательные.
Разве это не то же самое словесное утверждение называемое ВТФ записанное при помощи всё тех же трёх букв...

[PAV]

ishhan в сообщении #540699 писал(а):

Просто предлагаю обсудить и обратить внимание на другие эквивалентные записи ВТФ и в частности на $(x+y)^n+(x+z)^n+(z+x)^n=0$ , а не зацикливаться на заезженном уравнении $x^n+y^n=z^n$, которое уже давно у всех сидит в печёнках.

Хорошо, пусть это будет другая эквивалентная запись. Можно наверняка придумать и другие. Что именно относительно них Вы хотите обсудить? Просто их перечислять? Это не тема.

[ishhan]

PAV в сообщении #540718 писал(а):

ishhan в сообщении #540699 писал(а):

Просто предлагаю обсудить и обратить внимание на другие эквивалентные записи ВТФ и в частности на $(x+y)^n+(x+z)^n+(z+x)^n=0$ , а не зацикливаться на заезженном уравнении $x^n+y^n=z^n$, которое уже давно у всех сидит в печёнках.

Хорошо, пусть это будет другая эквивалентная запись. Можно наверняка придумать и другие. Что именно относительно них Вы хотите обсудить? Просто их перечислять? Это не тема.

Позвольте возразить по поводу того, что перечисление эквивалентных ВТФ утверждений, не имеет смысла.
Так всем известно, что гипотеза Таниямы-Шимуры позволила сформулировать эквивалентное утверждение ВТФ и именно оно привело к успеху.

[PAV]

Это очень разные ситуации. Такие совсем нетривиальные эквивалентные формулировки действительно имеют смысл. А что, что написано здесь - это детский сад, песочница. Это примерно то же самое, что заменить буквы $x,y,z$ на $a,b,c$ и назвать это "эквивалентной формулировкой".