Найти экстремумы, определитель матрицы Гессе вырожден

[integral2009]

Найти экстремумы. (получился Гессиан нулевой, что делать?)

$z=x^2+12xy+2y^2$

При условии

$4x^2+y^2=25$

$L=x^2+12xy+2y^2+\lambda(4x^2+y^2-25)$

1) Решаем систему уравнений (ответ проверял с помощью математического пакета, решил правильно)

$L'_x=2x+12y+8\lamda x=0$

$L'_y=12x+4y+2\lambda y=0$

$4x^2+y^2=25$

Находим 2 значения $\lambda_1=2$ и $\lambda_2=-17/4$

И различные точки, одна из которых $(2;-3)$.

2)Проверяем достаточные условия при $\lambda_1=2$ в точке $(2;-3)$

$L_{xx}=2+18\lambda=18$

$L_{xy}=12$$

$$L_{yy}=4+2\lambda=8$$

Гессиан

$H=\begin{vmatrix} 18 & 12 \\ 12 & 8 \\ \end{vmatrix} =0$

Как быть дальше? Слышал, что нужно выводы делать на основе второго дифференциала. Но как?

$d^2L=18dx^2+24dxdy+8dy^2$

[alcoholist]

Гессиан и есть дискриминант этого второго дифференциала -- это квадратичная форма, являющаяся, в данном случае, полным квадратом.

Почему бы с самого начала не сделать замену $2x=5\cos t$, $y=5\sin t$ и искать экстремум функции одной переменной?

[мат-ламер]

В точке, которую хотите проверить на оптимум, проведите касательную к множеству ограничений. Проводите прямую через $0$, параллельную этой касательной. Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.

[integral2009]

alcoholist в сообщении #540580 писал(а):

Гессиан и есть дискриминант этого второго дифференциала -- это квадратичная форма, являющаяся, в данном случае, полным квадратом.

Почему бы с самого начала не сделать замену $2x=5\cos t$, $y=5\sin t$ и искать экстремум функции одной переменной?

Да, спасибо, так будет гораздо проще. А можно ли все-таки найти экстремум как-то через второй дифференциал?

-- Вс фев 19, 2012 19:08:58 --

мат-ламер в сообщении #540581 писал(а):

В точке, которую хотите проверить на оптимум, проведите касательную к множеству ограничений. Проводите прямую через $0$, параллельную этой касательной. Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.

Спасибо. Касательная плоскость в точке $(2;-3)$

$8(x-2)+2(y+3)=0$

$8x+2y-10=0$

Прямая должна иметь направл. вектор перпендикулярный $(8;2)$ Допустим $(-2;8)$

$\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y}{4}$

$y=-4x$

Как-то так. Правильно?

Цитата:

Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.

Вот это вот не понял. Все-таки можно с помощью второго дифференциала?

[alcoholist]

integral2009 в сообщении #540593 писал(а):

Цитата:
Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.


Вот это вот не понял. Все-таки можно с помощью второго дифференциала?

Матрица Гессе и есть матрица второго дифференциала

[integral2009]

alcoholist в сообщении #540609 писал(а):

integral2009 в сообщении #540593 писал(а):

Цитата:
Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.


Вот это вот не понял. Все-таки можно с помощью второго дифференциала?

Матрица Гессе и есть матрица второго дифференциала

Хорошо. Просто в задании сказано - методом Лагранжа и я бы его хотел понять до конца, что именно делать в таких случаях?

[bot]

Можно, мат-ламер уже говорил как. Вот ровно то, что он сказал:
Дифференцируете уравнение связи, подставляете найденную точку и получаете линейную связь типа $dy=kdx$, подставляете её в Ваш

integral2009 в сообщении #540575 писал(а):

$d^2L=18dx^2+24dxdy+8dy^2$

и получаете типа $d^2L=Kdx^2$. Вот теперь смотрите знак.

[integral2009]

bot в сообщении #540618 писал(а):

Можно, мат-ламер уже говорил как. Вот ровно то, что он сказал:
Дифференцируете уравнение связи, подставляете найденную точку и получаете линейную связь типа $dy=kdx$, подставляете её в Ваш

integral2009 в сообщении #540575 писал(а):

$d^2L=18dx^2+24dxdy+8dy^2$

и получаете типа $d^2L=Kdx^2$. Вот теперь смотрите знак.

Вот так понятно, спасибо.

$8x+2yy'=0$

$16-6y'=0$

$dy=\dfrac{8}{3}dx$

$d^2L=18dx^2+24dxdy+8dy^2=18dx^2+24dx\dfrac{8}{3}dx+8\dfrac{64}9dx^2>0$

Что-то мне подсказывает, что это минимум. (По аналогии с первой производной, там так, если $y''<0$ при $y'=0$) Но почему и правильно ли?

[integral2009]

Чего-то туплю. В этой точке минимум.

[hitakiry]

alcoholist в сообщении #540580 писал(а):

Гессиан и есть дискриминант этого второго дифференциала -- это квадратичная форма, являющаяся, в данном случае, полным квадратом.

Почему бы с самого начала не сделать замену $2x=5\cos t$, $y=5\sin t$ и искать экстремум функции одной переменной?

Не удержался, чтобы не поправить:
Гессиан - это все таки не квадратичная форма, это матрица квадратичной формы.

[alcoholist]

hitakiry в сообщении #976010 писал(а):

Не удержался, чтобы не поправить:
Гессиан - это все таки не квадратичная форма, это матрица квадратичной формы.

Гессиан как и Вронскиан, Якобиан, Вандермондиан и т.д. -- это определители. В отличие от матрицы Гессе, матрицы Вронского, матрицы Якоби и т.д.

[Red_Herring]

alcoholist в сообщении #987697 писал(а):

Гессиан как и Вронскиан, Якобиан, Вандермондиан и т.д. -- это определители.

А как насчет Лапласиана и Д'Аламбертиана?

[ewert]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #987697 писал(а):

В отличие от матрицы Гессе, матрицы Вронского, матрицы Якоби

, одной из которых не бывает

(а так -- да; но дискриминант -- это всё-таки не форма)

[мат-ламер]

alcoholist в сообщении #987697 писал(а):

Гессиан как и Вронскиан, Якобиан, Вандермондиан и т.д. -- это определители.

Я извиняюсь, а что, надо их писать с большой буквы? Или просто здесь это для большей наглядности?

[ewert]

мат-ламер в сообщении #988326 писал(а):

Или просто здесь это для большей наглядности?

Для, конечно.