Задача с электрической цепью.

[Acapello]

http://s1.ipicture.ru/uploads/20120218/suGAS0an.jpg
До замыкания ключа K ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое время, а затем размыкают. Оказалось, что после размыкания ключа через катушку протёк заряд $q_0$ .
1) Найдите то через катушку сразу после замыкания ключа.
2) Какой заряд протёк через источник за время, пока ключ был замкнут.

Первая мысль: что процесс симметричен, т.е. до и после через катушку прошёл одинаковый заряд. А как связать заряд с энергией магнитного поля - мыслей нет.

Вообще, объясните общий ход мыслей в такого рода задачах, чтобы не кидаться во все стороны. Может моменты или факты на которые нужно обратить внимание.

[ivanhabalin]

Acapello Хоть я вроде ни чем помоч не смогу, но порассуждаю:
после замыкания ключа ток сразу пойдет через активное сопротивление - по закону Ома. Ток через индуктивность пойдёт нарастающий, время нарастания зависит от величины индуктивности, далее ток будет ограничен только эквивалентом внутреннего сопротивления источника тока и активным сопротивлением индуктивности. (по условиям их вроде нет)
Установившемуся току и индуктивности соответствует напряжённость магнитного поля, с его энергией.
При размыкании ключа, ток через индуктивность поддерживается за счёт изменяющегося магнитного поля и ограничивается активным сопротивлением, ток будет продолжаться до снижения энергии магнитного поля до 0. и вся она перейдёт в тепловую энергию на активном сопротивлении.
Все формулы Вы знаете попробуйте посчитать.
(вот только отсуствие внутреннего сопротивления источника и активного сопротивления индуктивности, приведёт к беконечным величинам тока через индуктивность, ну здесь наверное как у вас принято)

[мат-ламер]

ivanhabalin в сообщении #540318 писал(а):

Вообще, объясните общий ход мыслей в такого рода задачах,

Начать можно со следующего. Составьте передаточную функцию цепи. Далее, используя преобразование Фурье можно найти ипульсную характеристику (реакцию на дельта-функцию) и далее интегрированием - реакцию на ступеньку Хевисайда (т.е. на замыкание ключа).

[rustot]

процесс несимметричен. при замыкании ключа ток через индуктивность нарастает линейно $I(t) = \frac{U}{L} t$ и плюс течет постоянный ток через сопротивление

а при размыкании ток убывает экспоненциально $I(t) = I_0 e^\frac{-t R}{L}$

чтобы найти протекший заряд нужно проинтегрировать ток по времени

[Acapello]

мат-ламер,
даже если вы и правы, боюсь, что в 11 классе я не смогу провести все описанные Вами действия.

rustot,
q_0=-\frac{L}{R} I_0e^{\frac{-tR}L}
Нам известно всё, кроме t и $I_0$. А чтобы найти изначальную силу тока - необходимо время зарядки.

ivanhabalin,
да, элементы все идеальные. И, по-идее, сила тока будет ограничена только временем, сколько был подключён источник. $I(t)=\frac{U}{L} t. А раз время неизвестно, не понятно, какая будет сила тока и, соответственно, энергия магнитного поля катушки.

Я опечатался: нужно найти ток сразу после размыкания ключа.
Я так понимаю, что LI'=IR А как выразить отсюда $I$ и $q_0$? Дифференциальные уравнения ещё не решаю.

[ewert]

Acapello в сообщении #540450 писал(а):

$q_0=-\frac{L}{R} I_0e^{\frac{-tR}L}$
Нам известно всё, кроме t и $I_0$. А чтобы найти изначальную силу тока - необходимо время зарядки.

Там не просто экспонента, а приращение экспоненты по времени, меняющемуся от нуля до бесконечности. Так что неизвестное лишь одно -- начальный ток и, следовательно, его можно найти.

Ну а зная начальный ток разрядки (или, что то же, конечный ток зарядки) -- можно найти и время зарядки, а там уж и всё остальное.

[Acapello]

ewert,
с таким ещё ни разу не сталкивался. Учусь по ходу дела.
Тогда,
I_0=\frac{L}{Rq_0} - искомая сила тока.
t=\frac{E}{LI_0} и это время подставляем в:
q_0=-\frac{L}{R} I_0e^{\frac{-tR}L} - искомый заряд?

Так получается?

[rustot]

Acapello в сообщении #540450 писал(а):

q_0=-\frac{L}{R} I_0e^{\frac{-tR}L}
Нам известно всё, кроме t и $I_0$. А чтобы найти изначальную силу тока - необходимо время зарядки.

t известно, оно бесконечное. сама формулировка "заряд протек" означает что он протек весь, то есть на бесконечном промежуке времени. так что находите интеграл от 0 до бесконечности, потому из заряда находите начальный ток

ps. формула у вас для неопределенного интеграла, а не для $q_0$, в определенном будет 2 слагаемых, одно из которых на бесконечном пределе исчезнет

[ewert]

Acapello в сообщении #540475 писал(а):

Так получается?

Так не получается по трём причинам. Во-первых, каждую формулу следует окружать долларами. Во-вторых, Вы систематически путаете числители со знаменателями. В-третьих, найденное Вами (пусть и неверно) время относится к зарядке и не имеет никакого отношения к разрядке.

[Acapello]

ewert в сообщении #540479 писал(а):

Во-первых, каждую формулу следует окружать долларами.

Извините. Не привык ещё к LaTeX.

ewert в сообщении #540479 писал(а):

Во-вторых, Вы систематически путаете числители со знаменателями. отношения к разрядке.

$I_0=-\frac{R}{L} q_0$

ewert в сообщении #540479 писал(а):

В-третьих, найденное Вами (пусть и неверно) время относится к зарядке и не имеет никакого отношения к разрядке.

Так мне и нужно: "2) Какой заряд протёк через источник за время, пока ключ был замкнут". Тогда правильно?

$t=\frac{I_0L}{E}=\frac{R q_0}{E}$

$q=-\frac{L}{R} I_0 e^{\frac{-tR}L}=-q_0 e^{\frac{-R^2 q_0}{EL}}$ - искомый заряд.

[ewert]

Acapello в сообщении #540485 писал(а):

2) Какой заряд протёк через источник за время, пока ключ был замкнут". Тогда правильно?

Неправильно. Вы зачем-то упорно подставляете время зарядки в формулу, описывающую совсем другой процесс -- разрядки. А зачем -- я не знаю.

[rustot]

Acapello в сообщении #540485 писал(а):

$t = \frac{I_0 L}{E}$

все, вы нашли уже и длительность включенного состояния и ток, который тек через индуктивность в конце этого состояния. процесс нарастания тока в индуктивности линеен, никаких экспонент там уже появиться не может. просто опять интегрируете ток по времени, не забывая о постоянном токе, который течет через резистор. зная о линейности нарастания тока можно проявить смекалку и не интегрировать.

ps. и откуда взялся минус в $I_0$? при вычитании нижнего предела минус на минус даст плюс

[Acapello]

rustot в сообщении #540498 писал(а):

зная о линейности нарастания тока можно проявить смекалку и не интегрировать.

Среднее значение силы тока взять взять?
$q=\frac{I_0}2 t+\frac{E}{R} t$

[rustot]

именно. и теперь подставить $I_0$ и $t$ выраженные через $q_0$

[Acapello]

$q=q_0+\frac{(Rq_0)^2}{LE}$
Фух, теперь, надеюсь, правильно.. Спасибо большое за помощь.