Размерность $y=\sin 1/x$

[xmaister]

В задачнике приведена задача: найти фрактальную размерность графика функции $y=\sin\left(\frac1{x}\right),0<x\le 1$. Что здесь означает фрактальная размерность? Какое её определение?

[мат-ламер]

Просто любопытно, по какому курсу задачник? На Ваш вопрос ответить не берусь. В Википедии не пробовали смотреть?

[xmaister]

(Оффтоп)

Задача на тему "метрические пространства". В вики первой ссылкой на запрос идёт страница про фракталы, там не увидел фрактальной размерности.

[Хорхе]

Фрактальная размерность она всякая бывает. Одна из самых популярных -- размерность Хаусдорфа.

-- Сб фев 18, 2012 20:47:01 --

Для $y=\sin x^{-1}$ вроде размерность 1 получается.

[alcoholist]

Хорхе в сообщении #540250 писал(а):

Фрактальная размерность она всякая бывает

Да, xmaister, у Вас в задачнике есть список литературы -- может быть, там найти?

[Padawan]

Хорхе в сообщении #540250 писал(а):

Фрактальная размерность она всякая бывает. Одна из самых популярных -- размерность Хаусдорфа.

-- Сб фев 18, 2012 20:47:01 --

Для $y=\sin x^{-1}$ вроде размерность 1 получается.

Конечно 1, мера Хаусдорфа она ведь обычная мера счетно-аддитивная.

[xmaister]

Написано, что $\lim\limits_{\varepsilon\to\ 0}\frac{\ln N(\varepsilon )}{\ln\left(\frac{1}{\varepsilon}}\right)$- фрактальная (аппроксимативная) размерность, $N(\varepsilon )$- число элементов в наименьшей $\varepsilon$- сети. Теперь вопрос, как такую наименьшую $\varepsilon$-сеть найти, в окрестности нуля там непонятно что происходит.

[Хорхе]

Ну если так считать, то полтора получится.

У этого самого синуса сначала $\varepsilon^{-1/2}$ веток будут покрыты порядка $\varepsilon^{-3/2}$ шариками диаметра $\varepsilon$ (и меньше, понятно, нельзя), а оставшийся прямоугольник размером порядка $1\times \varepsilon^{1/2}$ можно, очевидно, покрыть порядка $\varepsilon^{-3/2}$ шариками.