Три последовательности (что подразумевалось в условии?)

[Ktina]

Рассмотрим три бесконечные последовательности: $(a_n), (b_n), (c_n)$, каждая из которых содержит попарно различные элементы. Доказать, что существуют два индекса $k$ и $l$ для которых выполнено

$$ \begin{cases} k<l\\ a_k<a_l \\ b_k<b_l \\ c_k<c_l \\ \end{cases} $$

Оригинальный текст задачи здесь (задача 2): http://www.imomath.com/othercomp/Pol/PolMO370.pdf

Дело в том, что утверждение задачи в общем случае ошибочно. Пусть все три последовательности являются монотонно убывающими. Тогда для любых двух $k$ и $l$ таких, что $k<l$ имеем

$$ \begin{cases} k<l\\ a_k>a_l \\ b_k>b_l \\ c_k>c_l \\ \end{cases} $$

, что делает доказательство утверждения невозможным.

Возможно, авторами задачи подразумевалось, что все члены каждой последовательности положительны? Но и это не устраняет проблему, так как положительная последовательность также имеет право монотонно убывать (например $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{2^n}$).

Если же допустить, что речь в задаче шла о последовательностях натуральных чисел, то утверждение становится практически очевидным. Действительно, поскольку $a_1\in\mathbb N$, множество всех натуральных чисел, меньших $a_1$ является конечным, следовательно, начиная с некоторого момента все члены $(a_n)$ будут превосходить $a_1$. Аналогично, такие моменты существуют для $(b_n)$ и для $(c_n)$. Выберем натуральное число $m$, превышающее все три этих "момента". Тогда искомой парой индексов будет $1, m$. Ну и таких пар, естественно, бесконечно много.

Так что же на самом деле могли иметь в виду авторы задачи?