Задача по теории групп

[kopern1k]

Пусть $G-$ конечная группа, а $\alpha:G\to G -$ автоморфизм группы $G$, такой, что $\alpha(x)=x$ только если $x$ является единичным элементом. Докажите, что всякий элемент группы $G$ может быть представлен в виде $x^{-1}\alpha(x)$, где $x \in G$.

Слишком слаб я в алгебре. Попытался попробовать на голой теории вытащить, но не получилось. Буду признателен за любую помощь в решении.

[AV_77]

Покажите, что отображение $f \colon G \to G$, определенное равенством $f(x) = x^{-1} \alpha(x)$ инъективно.

[kopern1k]

Попробовал так, вот что получилось:

Определим $f \colon G \to G$. Подействуем оператором на произвольный элемент $x\in G$, получим элемент принадлежащий $G$. Остаётся доказать, что $f$ полностью покрывает группу $G$, т.е. является инъективным отображением.

Пусть $x_1 \ne x_2$. Предположим, что $x_1^{-1}\alpha(x_1)=x_2^{-1}\alpha(x_2)$. Так как $\alpha(x)-$ автоморфизм, то $\alpha(x_1)\ne \alpha(x_2)$ и $x_1^{-1} \ne x_2^{-1}$. То последнее равенство невозможно.

Можно ли считать это правильным? Я хотел бы более строгое доказательство, но у меня не получилось. И условия, что $G-$конечна и $\alpha(x)=x$, только для единичного, я никак не использовал. Помогите, если кто-нибудь знает

[Padawan]

Если множество $G$ конечно и отображение $f\colon G\to G$ инъективно, то $f$ биективно. Для бесконечных $G$ это неверно.
Чтобы показать инъективность, попробуйте из $f(x_1)=f(x_2)$ получить $x_1=x_2$.

[kopern1k]

Padawan в сообщении #539491 писал(а):

Чтобы показать инъективность, попробуйте из получить .

Да, я как раз и хотел к этому противоречию прийти. Но ничего толкового не вышло

[Padawan]

$x_1^{-1}\alpha(x_1)=x_2^{-1}\alpha(x_2)$. Слева домножьте на $x_1$, справа на $\alpha(x_2^{-1})$ и воспользуйтесь свойством гомоморфизма. А там и $\alpha(x)=x$ пригодится.

[kopern1k]

Всё, доказал. Не знал, что $\alpha(x_1)\alpha(x_2)=\alpha(x_1x_2)$. Неплохо было бы повторить все эти определения. Не вдаваясь в существенные подробности, правильно ли, что изморфизмы включаются в гомоморфизмы?

[Sonic86]

kopern1k в сообщении #539524 писал(а):

правильно ли, что изморфизмы включаются в гомоморфизмы?

Да