Найти собственные числа и векторы

[Unconnected]

такой матрицы:
$ \begin{pmatrix} 0 &1 & \cdots &1 &1 \\ 1 &0 &\cdots &1 &1 \\ \vdots &1 &\ddots &1 &\vdots \\ 1 & 1 & 1 &0 &1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
(все единицы, на диагонали нули)

Видно один корень характеристического многочлена, $-1$, и множество собственных векторов для этого числа. А как с остальными быть?

[ewert]

Unconnected в сообщении #538728 писал(а):

А как с остальными быть?

Не с остальными, а с остальным. Он -- единственный, ортогональный всем видным. И тогда он очевиден. А вместе с ним и его собственное число.

[Unconnected]

Кто-он? Я так понимаю, есть собственные числа - корни, и каждому может сопоставляться много векторов. А, или Вы имеете в виду ноль? И почему только эти два числа есть, а других нет? Многочлен-то энной степени, корней может быть много..

[ewert]

Unconnected в сообщении #538733 писал(а):

Многочлен-то энной степени, корней может быть много..

Не может. Вы уже нашли много-много собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному числу (т.е. корню). Собственно, почти все возможные собственные векторы нашли, почти базис, разве что одного не хватает. И действительно не хватает: матрица-то симметрична, так что собственного базиса у неё ну никак не может не быть. И теперь осталось только вспомнить стандартные свойства симметричной матрицы, чтобы углядеть наконец этот недостающий собственный вектор.

[hippie]

Есть собственное число $-1.$ кратности $n-1$; и собственное число $n-1$ кратности 1.

Первому собственному числу соответствуют все векторы, у которых сумма координат равна 0;
Второму — векторы у которых все координаты равны.

[Unconnected]

А. То есть одному числу соответствует один вектор, но так как корень какой-то кратности, то ему много векторов соответствует.. хотя вообще неочевидно, почему бы одному корню не могло соответствовать пять векторов, другому - ещё 7, $AX=\alpha X$ может же выполняться, при определённых X.. наверное..

откуда n-1 и как это проверить, т.е. подставить чтобы 0 вышло (для этого надо узнать многочлен?). Блин, есть вообще литература по матрицам, где все эти дела подробно?

[svv]

Сумма всех собственных чисел (с учетом кратности) равна следу матрицы. След матрицы -- сумма диагональных элементов -- равен нулю. Значит, из этого

hippie писал(а):

Есть собственное число $-1$ кратности $n-1$

следует это:

hippie писал(а):

и собственное число $n-1$ кратности 1.

[Unconnected]

Цитата:

Сумма всех собственных чисел (с учетом кратности) равна следу матрицы.

Иными словами, след - это свободный член многочлена... но почему сумма собственных чисел ему равна?

[svv]

Сумма собственных чисел -- это след матрицы, или коэффициент при $\lambda^{n-1}$.
Произведение собственных чисел -- это определитель, или свободный член многочлена.
То и другое с точностью до знака; знак зависит от степени многочлена и от того, определяется ли он как $\det(A-\lambda E)$ или как $\det(\lambda E-A)$.

[ewert]

Unconnected в сообщении #538741 писал(а):

.. хотя вообще неочевидно, почему бы одному корню не могло соответствовать пять векторов,

Очевидно. Вот Вы угадали минус единичку, прекрасно. Теперь наверняка составили систему уравнений для поиска соотв. собственных векторов. В явном виде множество этих векторов выписывается корявенько; но не в этом суть. Какова размерность этого собственного подпространства?... т.е. чему равен ранг матрицы той системы?...

Ну а после очевидного ответа на этот вопрос последний вектор определяется уже тривиально из соображений ортогональности. Даже если он не был угадан изначально (что тоже достаточно напрашивается).

[AlexValk]

Решение меньше опирающееся на общие теоретические факты:
Простой факт: Матрица ${\bf A}={\bf U}-{\bf E}$ (где ${\bf E}$ - единичная матрица) имеет те же собственные векторы, что матрица ${\bf U}$, а собственные числа ${\bf A}$ меньше на единицу чем собственные числа ${\bf U}$.
Рассмотрим систему уравнений ${\bf U}{\bf x}=\lambda{\bf x}$, где матрица ${\bf U}$ имеет все элементы равные 1. При $\lambda=0$ система имеет $(n-1)$ независимых решений (система уравнений сводится к одному уравнению - сумма всех компонент вектора ${\bf x}$ равна 0), а при $\lambda\not =0$ имеется единственное (с точностью до множителя) решение c одинаковыми компонентами $x_i$, что дает $\lambda=n$ в этом случае.
Итог: Матрица ${\bf A}$ в нашей задаче имеет собственное число равное $-1$ кратности $(n-1)$ с собственными векторами, например, $(1,-1,0,0,\dots,0,0)$, $(1,0,-1,0\dots,0,0)$, ... $(1,0,0,0,\dots,-1,0)$, $(1,0,0,0\dots,0,-1)$ и собственное число $(n-1)$ (кратности 1) c собственным вектором $(1,1,1,\dots,1)$.

[Unconnected]

Цитата:

Вот Вы угадали минус единичку, прекрасно. Теперь наверняка составили систему уравнений для поиска соотв. собственных векторов. В явном виде множество этих векторов выписывается корявенько; но не в этом суть. Какова размерность этого собственного подпространства?... т.е. чему равен ранг матрицы той системы?...

Таак, преобразовал матрицу, забитую единицами, к такой, что единицы только в первой строке, остальные нули. Ранг её 1, а в произведении n строк, значит множество образующих решений состоит из n-1 вектора (у нас такая теорема была, Кронекера-Капелли, что ли..). Эти n-1 можно предъявить, читай нашли.. А вот что далее напрашивается, из соображений ортогональности (чего и чего O_o ) - не знаю..

[Unconnected]

А, всё, разобрался, по формулам Виета последнее число это n-1, ну и вектор угадался, все единицы.. спасибо)