Симплекс

[xmaister]

Здравствуйте! Почему двумерный симплекс это треугольник, а трёхмерный- это тетраэдр?

[svv]

Каждая следующая точка добавляет к нему новое измерение.
А что не так?

[xmaister]

Кажется вроде понятно стало. Наример в $\mathbb{R}^2$ мы берём три точки в общем положении и треугольник, с вершинами в этих трёх точках будет минимальным выпуклым множеством их содержащим. А если рассмотреть произвольное линейное нормированное пространство размерности $n$, то будет ли $k$ мерный симплекс являться в нём замкнутым множеством?

[wallflower]

Симплекс можно получить пересечением замкнутых полупространств.

[INGELRII]

Симплекс - как раз один из простейших примеров замкнутого множества. Берем сколько-то линейно независимых векторов, и строим ГМТ всех их линейных комбинаций, где коэффициенты, во-первых, неотрицательны, во-вторых, их сумма не превосходит единицы (лень формулы писать, лень). Это и будет симплекс. Доказать, что он будет замкнутым, просто. Можно даже доказать, что будет выпуклым, приятное и простое упражнение.

[xmaister]

Пусть $\mathbb{R}^n$- евклидово и $a_0,\ldots ,a_m\subset\mathbb{R}^n$- точки в общем положении. Рассмотрим произвольный симплекс $S=a_0\ldots a_m$.

1. Доказываю, что $S$- компактен в $\mathbb{R}^n$. $S=\{x|x=\lambda_0 a_0+\ldots +\lambda_ma_m, \lambda_i\in\mathbb{R},\lambda\ge 0,\sum\limits_{k=0}^{m}\lambda_k=1\}$. Множество $A=\{(\lambda_0,\ldots ,\lambda_m)|\sum\lambda_i=1,\lambda_i\ge 0\}$- компактно в $\mathbb{R}^m$, т.к. $\mathbb{R}^m$- ТВП, то отображение $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$, такое что $f(x_1,\ldots, x_m)=a_0x_0+\ldots +a_nx_n$- непрерывно, значит $S=f(A)$- компактен.