Чарующее множество (Кубок Памяти Колмогорова)

[Ktina]

Непустое множество натуральных чисел назовём чарующим, если для каждой пары его элементов $(x, y)$ (не обязательно различных) число $\frac{x+y}{\text{НОД}(x, y)}$ тоже принадлежит этому множеству.

Сколько элементов может быть в чарующем множестве?
Найти все варианты и доказать, что других нет.

[Dave]

Если $\mathbb {SEDUCTIVE}$ - множество всех чарующих множеств, то

$$\mathbb {SEDUCTIVE} = \{\{2\},\mathbb N \setminus \{1\},\mathbb N\}.$$

Действительно, любое чарующее множество $\mathbb S$, будучи непустым, вместе с любым элементом $x$ должно содержать и $\frac {x+x} x = 2$.
Если $\mathbb S$ содержит какое-либо нечётное число $a$, то оно должно содержать и $\frac {a+2} 1 = a+2$, которое также будет нечётным, а, стало быть, $\mathbb S$ содержит все нечётные числа, большие $a$. Из последнего следует, что для любого натурального $n$ число $\frac {a+(2n-1)a} a = 2n$ также принадлежит $\mathbb S$, т.е. $\mathbb S$ содержит все чётные числа. Если $\mathbb S$ содержит какое-либо чётное число $b$, большее $2$, то оно должно содержать и $\frac {b+2} 2=\frac b 2 +1$. В частности, в рассматриваемом случае $\mathbb S$ должно содержать $\frac 4 2 +1=3$, т.е. $\mathbb S= \mathbb N$ или $\mathbb S= \mathbb N \setminus \{1\}$.
Осталось доказать, что если $\mathbb S$ не содержит ни одного нечётного числа, то $\mathbb S = \{2\}$. Допустим противное и пусть $c$ - минимальное чётное число из $\mathbb S$, большее $2$. В силу сказанного выше, $d=\frac c 2 +1$ также должно принадлежать $\mathbb S$. Но $2<d<c$ - противоречие с минимальностью $c$ и с тем, что в $\mathbb S$ нет нечётных чисел.