Освежить память по линейной алгебре

[DTF]

Добрый вечер.
Не смог придумать хорошего заголовка для своей темы :(


Возникла необходимость повторить линейную алгебру,
которую я в универе изучал давно и многое уже забыл.

Причем повторяю я ее по краткой статье-обзору на англ. языке
(долго рассказывать, почему так вышло).

В статье - краткий обзор некоторых тем и теорем из них.

В частности, есть там такое (мой вольный перевод, мб неправильный :) ):
Определение 1:

Цитата:

range (иногда также называемый пространством столбцов) матрицы A (mxn), обозначаемый R(A) - это линейная оболочка столбцов А.
Другими словами, $R(A) = \{v \in R^m : v = Ax, x \in R^n\}$

Определение 2:

Цитата:

Нуль-пространство матрицы А(mxn), обозначаемое N(A) - это набор векторов, которые дают 0, будучи умноженными на А, т.е.
$N(A) = \{x \in R^n : Ax = 0\}$

2 утверждения:
1. $\{w: w = u + v, u \in R(A^T), v \in N(A)\} = R^n$
2. $R(A^T) \cap N(A) = \varnothing$


По этому поводу у меня вопросы :) :
1. Как называется range в русской литературе?
2. Как доказать утверждения? Сам я не смог этого сделать :(

Если есть учебник, в котором есть это доказательство - дайте ссылку, пожалуйста.

[svv]

Это следует из теоремы о том, что любое подпространство $W$ пространства $\mathbb{R}^n$ даёт разложение пространства в прямую сумму $W$ и его ортогонального дополнения $W^{\bot}$:

$$\mathbb{R}^n=W \oplus W^{\bot}$$

В данном случае $W=R(A^{\top})$, $W^{\bot}=N(A)$.

Вкратце, теорема доказывается построением ортонормированного базиса $\mathbb{R}^n$, первые $\dim W$ элементов которого составляют базис $W$ (а остальные, стало быть -- базис $W^{\bot}$). Подробнее здесь:
http://alexandr4784.narod.ru/B04/bo4_3_39.pdf

DTF писал(а):

$R(A^T) \cap N(A) = \varnothing$

Это не совсем точно. Очевидно, нулевой вектор будет входить и в $R(A^{\top})$, и в $N(A)$.

[alcoholist]

svv в сообщении #538230 писал(а):

Это следует из теоремы о том, что любое подпространство $W$ пространства $\mathbb{R}^n$ даёт разложение пространства в прямую сумму $W$ и его ортогонального дополнения $W^{\bot}$:

$$\mathbb{R}^n=W \oplus W^{\bot}$$

В данном случае $W=R(A^{\top})$, $W^{\bot}=N(A)$.

тут скалярное произведение излише:(( если $A:V\to W$ -- линейный оператор, то

$$ {\rm dim}\,{\rm ker}\,A+ {\rm dim}\,{\rm im}\,A= {\rm dim}\,V $$

-- Пн фев 13, 2012 18:18:43 --

DTF в сообщении #538057 писал(а):

1. Как называется range в русской литературе?

по смыслу -- это "образ", image

DTF в сообщении #538057 писал(а):

2. $R(A^T) \cap N(A) = \varnothing$

судя по всему, у Вас фиксировано скалярное произведение (базис ортонормированный, в котором отображения задаются) и двойственное пространство отождествлено с исходным, поэтому

$$ R(A^T)=A^T(\mathbb{R}^m)\Rightarrow\, R(A^T)\cap N(A)=\{0\} $$

[svv]

alcoholist писал(а):

тут скалярное произведение излише:(( если $A:V\to W$ -- линейный оператор, то

$$ {\rm dim}\,{\rm ker}\,A+ {\rm dim}\,{\rm im}\,A= {\rm dim}\,V $$

Хорошая формула, но как она доказывает то, что надо ТС?

[alcoholist]

svv в сообщении #538327 писал(а):

Хорошая формула, но как она доказывает то, что надо ТС?

из формулы следует, что

DTF в сообщении #538057 писал(а):

1. $\{w: w = u + v, u \in R(A^T), v \in N(A)\} = R^n$

т.е. ядро и коядро дают всё пространство

[svv]

alcoholist
Давайте обозначать оператор $f$, чтобы не путать с матрицей $A$.

У нас есть два пространства: $V=\mathbb{R}^n$ и $W=\mathbb{R}^m$. Вы рассматриваете оператор $f: V\to W$, отображающий $x\mapsto Ax$.

Вы говорите, что этот оператор дает возможность определить в $V$ подпространства
$N = \{x \in V : Ax = 0\}$
$R = \{x \in V: x = A^{\top}y, y \in W\}$

Да, очевидно, $N=\ker f$.
А что Вам удастся как-то аналогично определить $R$ -- сомневаюсь. Если считать базис ортонормированным, $(e_i, e_k)=\delta_{ik}$, то $N$ и $R$ ортогональны:
$\forall x\in N, y\in R\quad\quad (x, y)= 0$
Неужто можно разложить $V$ на $N$ и $R=N^{\bot}$, пользуясь только $f$ и $\ker, \operatorname{coker}$ и т. д?

Только раз Вы сказали, что скалярное произведение здесь излишне -- чур, никакого скалярного произведения и никаких дополнительных средств (операторов, матриц).

[alcoholist]

svv

правильно сомневаетесь, дело в том, что $A^T$ -- это матрица сопряженного оператора $f^*:W^*\to V^*$... т.е. неявно подразумевается отождествление $V$ и $V^*$

предлагаю такой выход:))

речь в задаче идет только о матрицах и столбцах

а для матриц ${\rm dim} N(A)+{\rm rank} A=n$ (собственно это -- формула, которую я предлагал, только на языке матриц)

но $ {\rm rank} A={\rm rank} A^T={\rm dim} R(A^T)$

[svv]

OK.