Доказать неравенство

[pakad]

Известно, что числа х1, х2, х3, х4, х5 неотрицательны и х1+х2+х3+х4+х5=1. Докажите, что х1*х2+х2*х3+х3*х4+х4*х5<=1/4.
Решение:
(х1+х2+х3+х4+х5)^2=1
(-х1+х2+х3+х4+х5)^2>=0
(х1-х2+х3+х4+х5)^2>=0
(х1+х2-х3+х4+х5)^2>=0
(х1+х2+х3-х4+х5)^2>=0
(х1+х2+х3+х4-х5)^2>=0
Вычел из равенства все неравенства. Получается <=5/8. Как оценить по-другому?

[Dave]

Не знаю, как получилось то, что Вы говорите, там будет симметричное выражение относительно $x_i$, а мы оцениваем несимметричную сумму $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_5$. Я советую оценивать так:

$$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_5 \leqslant x_1x_2+x_2x_3+x_2x_5+x_1x_4+x_3x_4+x_4x_5 =$$

$$=x_2(x_1+x_3+x_5)+x_4(x_1+x_3+x_5)=(x_2+x_4)(x_1+x_3+x_5).$$

Ну и писать формулы по правилам форума.