С5

[makc]

Помогите пожалуйста решить: x(в кубе) -2a*x(в квадрате)+а(в квадрате)*x-3=0 Задание: найти все значения а при которых уравнение имеет ровно 2 корня.

[gris]

Исправьте поскорее на:
$ x^3 -2ax^2+a^2x-3=0$

$ x^3 -2ax^2+a^2x-3=0$

Ну и начните уж как-нибудь преобразовывать выражение. Вынесите что-нибудь за скобку, формулу узнайте.
А сколько вообще корней может быть? И как график функции выглядит? Это некоторый крайний случай — два корня.

[ewert]

Не крайний, а граничный.

Боюсь, что без поиска вершин графика, т.е. без производной, будет трудно. А с производной -- очень легко.

[gris]

Я хотел было написать "экстремальный", но не хотел уж так явно и написал русский перевод: крайний. Граничный. Хм...
Наверное с производными, тем более, что граничные точки находятся легко.

[nnosipov]

ewert в сообщении #537099 писал(а):

Боюсь, что без поиска вершин графика, т.е. без производной, будет трудно.

Ровно два корня --- это значит, что один из них двукратный. Обозначим его $x_0$. Тогда $f(x)=x^3-2ax^2+a^2x-3$ делится на $(x-x_0)^2$ без остатка. Поделить углом, приравнять остаток тождественному нулю и решить получившуюся систему с неизвестными $a$ и $x_0$. Что забавно: это система не совпадает с системой $f(x_0)=0$, $f'(x_0)=0$, но, разумеется, равносильна последней.

[spaits]

Чтобы у кубического уравнения было ровно два корня, необходимо, чтобы на самом деле было три корня и один из них - двойной. Точка двойного корня - точка экстремума.
Нашли производную, приравняли ее нулю и нашли соответствующие значения $x$ : $x_1=\frac{a}{3}$ ; $x_2=a$ .
Это точки экстремума. Но точка экстремума должна быть одновременно и корнем. Вот эти значения $x$ подставляем теперь в исходное уравнение. Подставив $x_2=a$ , получаем: $-3=0$. При этом значении $x$ условия задачи не выполняются. А вот значение корня $x_1=\frac{a}{3}$ дает возможность вычислить значение $a$, при котором уравнение будет иметь ровно два корня.
Так?
nnosipov, я описала то же самое другими словами.

[nnosipov]

spaits в сообщении #537127 писал(а):

nnosipov, я описала то же самое другими словами.

Это я описал то же самое другими словами :)

[ewert]

spaits в сообщении #537127 писал(а):

Подставив $x_2=a$ , получаем: $-3=0$. При этом значении $x$ условия задачи не выполняются.

Какие такие условия?... При этом получается, что одна из вершин (если они вообще есть) лежит ниже оси иксов. Ну, значит, другая должна лежать выше (а тогда они автоматически есть) -- вот и прямое условие на параметр.

spaits в сообщении #537127 писал(а):

nnosipov, я описала то же самое другими словами.

Нет, совсем не то же -- у nnosipov вовсе без производных

nnosipov в сообщении #537122 писал(а):

Поделить углом, приравнять остаток тождественному нулю и решить получившуюся систему с неизвестными $a$ и $x_0$.

Конечно. Только это, во-первых, некоторая морока, а во-вторых, гораздо больше оправдательных заклинаний понадобится.

[nnosipov]

ewert в сообщении #537135 писал(а):

во-первых, некоторая морока

Делить на многочлен с единичным старшим коэффициентом совершенно не напрягает. В данном случае совсем быстро.

ewert в сообщении #537135 писал(а):

во-вторых, гораздо больше оправдательных заклинаний понадобится

Не соглашусь. Это довольно банальная алгебраическая ситуация --- ровно два корня у многочлена 3-й степени.

[spaits]

По условию корни уравнения не требуется находить, надо найти только значения $a$, при которых ровно два корня.
Такое значение только одно: $a=3\cdot\sqrt[3]{\frac34}$.
Так?
Проверьте, пожалуйста. Только где топикстартер?

[nnosipov]

spaits в сообщении #537152 писал(а):

Так?
Проверьте, пожалуйста.

Да, так.

[spaits]

nnosipov в сообщении #537122 писал(а):

ewert в сообщении #537099 писал(а):

Боюсь, что без поиска вершин графика, т.е. без производной, будет трудно.

Ровно два корня --- это значит, что один из них двукратный. Обозначим его $x_0$. Тогда $f(x)=x^3-2ax^2+a^2x-3$ делится на $(x-x_0)^2$ без остатка. Поделить углом, приравнять остаток тождественному нулю и решить получившуюся систему с неизвестными $a$ и $x_0$. Что забавно: это система не совпадает с системой $f(x_0)=0$, $f'(x_0)=0$, но, разумеется, равносильна последней.

ewert, а как тогда nnosipov нашел $x_0$?

-- Пт фев 10, 2012 18:11:39 --

Если без производной?

-- Пт фев 10, 2012 18:23:41 --

Я поняла, как без производной.
Делим уголком левую часть уравнения на $(x-x_0)^2=x^2-2xx_0+x_0^2$. Остаток от деления должен равняться нулю. Это дает возможность выразить $x_0$ через $a$.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #537143 писал(а):

. Это довольно банальная алгебраическая ситуация --- ровно два корня у многочлена 3-й степени.

Это я по привычке по диагонали прочитал. Почему-то почудилось, что запрашивалось три корня. Если два, то можно и без производных (хотя с производными всё-таки существенно проще). А вот если три -- то без производных тоже можно, но уже формальная морока.

[nnosipov]

ewert в сообщении #537202 писал(а):

А вот если три -- то без производных тоже можно, но уже формальная морока.

С тремя --- да, ибо это три вещественных корня. Здесь уже одним дискриминантом не обойдёшься, нужно дополнительно выяснять, когда все корни вещественны. И это действительно морока (метод Штурма), если категорически не хочется применять производную.

[makc]

Всем спасибо)