Трудности трактовки задачи по терверу

[Doremi]

Здравствуйте, уважаемые!

Есть следующая задача по терверу.

Цитата:

Есть числа от 1 до 9 в случайном порядке. Нужно найти вероятность того, что четные числа будут на четных местах.

Возникли трудности с трактовкой текста задачи.

Есть два варианта.

1) Есть ограниченный набор из цифр - 1 2 3 4 5 6 7 8 9, и есть ряд: 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

В таком случае, мы должны считать так:
[вероятность того? что на первое место не выпадает четное число из набора 9ти цифр] умножить [на вероятность выпадения на втором месте четной цифрой из набора 8ми оставшихся цифр] .... и так далее все места.

В цифрах: (1-5/9)х(4/8)х .... и так далее


2) Если дан ряд мест от 1 до 9, и нужно просто найти с какой вероятность в четные места попадут четные цифры (из неограниченого набора). То есть просто генерация случайным образом чисел от 1-9 в четные места ряда мест 1-9.

тогда будет: 4/9х4/9х4/9х4/9

Что же все таки подразумевает собой формулировка задачи!?

[gris]

Мне кажется, что 9 чисел нужно расставить на 9 мест в соответствии с чётностями чисел и мест. Вероятность в точности равна вероятности того, что на первых четырёх местах будут стоять чётные числа, а потом нечётные. Короче, три факториала.
первый вариант у Вас похож, но почему там в скобке $1-5/9$. А идея верная — условная вероятность.

[Doremi]

gris, мне ваш ответ не очень ясен :(

Цитата:

Мне кажется, что 9 чисел нужно расставить на 9 мест в соответствии с чётностями чисел и мест.

Это часть ответа мне понятна. Это мой первый вариант - только сформулированный более четко и лаконично!

Цитата:

Вероятность в точности равна вероятности того, что на первых четырёх местах будут стоять чётные числа, а потом нечётные.

А вот это не понятно.
Есть места 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
По задаче нам надо найти вероятность того, что четные числа будут на четных местах.

начинаем расставлять числа.

первое место: сюда должно попасть нечетное число, в противном случае искомое событие не произойдет
второе место: сюда должно попасть четное число.
третье место: сюда должно попасть нечетное число, в противном случае искомое событие не произойдет
...
и т.д. , при этом набор при расставлении в каждое последующее место будет сокращаться на единицу, т.к. имеем конкретный набор из 9 цифр. {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Как тогда на первых четырех местах будут стоять четные цифры, а на последущие 5 нечетные?

такое решение подразумевает собой то что мы начинаем расставлять цифры сразу по четным местам, а потом по нечетным. но такого условия в задаче нет. откуда оно вытекает?

и этом случае не надо ведь подсчитывать нечетные места. В общем, так и не понял я что тут и как и откуда из первой части следует такое решение.

Цитата:

Первый вариант у Вас похож, но почему там в скобке $1-5/9$.

5/9 - вероятность выпадения нечетного числа
(1-5/9) - вероятность не выпадения нечетного числа. Можно кстати сразу 4/9, я что-то не посмотрел.

[kaur]

gris в сообщении #537541 писал(а):

Вероятность в точности равна вероятности того, что на первых четырёх местах будут стоять чётные числа, а потом нечётные.

Это означает, что решением будет

4/9*3/8*2/7*1/6 = 1/126

т.е. с выпадением каждого четного числа уменьшается количество оставшихся четных мест и число всех оставшихся мест на единицу

Верно?

[Doremi]

А разве не надо учитывать то, что числа выпадают и на нечетные места. и они могут выпасть четные!

[PAV]

kaur
правила форума запрещают выкладывать готовые решения учебных задач

[kaur]

Ок, принял.
На всякий случай скажу, что я сам эту задачу и решаю :) Попросил просто Дореми тему создать (мы с ним разошлись во мнении), а потом вот пришел и сам зарегился, чтобы уточнить. Ну просто я пришел к такому вот решению и был бы благодарен, если кто-то обстоятельно подтвердил или опровергнул.

[Doremi]

Подтверждаю слова, kaur. Мы разошлись во мнении как способа решения так и формулировки. Таким образом, выложенное решение им не может считаться решением на задачу. Это часть вопроса темы!

PAV, прошу вас в связи с этим допустить пост kaur.

[gris]

Вы несколько невнимательны. На первое место должно попасть нечётное число. Их 5. И вероятность 5/9. Что то же самое, что не должно попасть чётное число, то есть $1-4/9$.
Что равно друг другу. В данной трактовке нечётных чисел столько же, сколько и нечётных мест. Поэтому Ваше первое решение с учётом перепута 5/9 и 4/9 верное.

Я ещё привёл комбинаторное решение, даже специально обратив внимание, что неважно какие именно будут места для чётных и нечётных, лишь бы их количество соответствовало. Ответ будет ровно таким же.

Во второй трактовке задача звучала бы немного по другому: на каждое из 9 пронумерованных мест с равной вероятностью помещают цифры от 1 до 9. Чему равна вероятность того, что на чётных местах будут чётные цифры. Тут Вы тоже дали верный ответ: $\bigg(\dfrac49\bigg)^4$
Если же вопрос дополнен словами: "а на нечётных нечётные", то вероятност, умножится на пятую степень другой дроби.

Вообще полезно решать задачи разными способами и видеть, что в условии может повлиять на ответ, а что нет.

[Doremi]

Цитата:

Вы несколько невнимательны. На первое место должно попасть нечётное число. Их 5. И вероятность 5/9. Что то же самое, что не должно попасть чётное число, то есть $1-4/9$.

Ох.. Да уж, я все перепутал!

Цитата:

Что равно друг другу. В данной трактовке нечётных чисел столько же, сколько и нечётных мест. Поэтому Ваше первое решение с учётом перепута 5/9 и 4/9 верное.

Понятно, большое спасибо!

====
Еще вопрос по трактовке, если позволите.

Цитата:

Во второй трактовке задача звучала бы немного по другому: на каждое из 9 пронумерованных мест с равной вероятностью помещают цифры от 1 до 9. Чему равна вероятность того, что на чётных местах будут чётные цифры.

Понятно. Но не согласитесь ли Вы со мной, что задача все же поставлена не так

Цитата:

9 чисел нужно расставить на 9 мест в соответствии с чётностями чисел и мест.

и не так

Цитата:

На каждое из 9 пронумерованных мест с равной вероятностью помещают цифры от 1 до 9. Чему равна вероятность того, что на чётных местах будут чётные цифры.

Что подразумевает собой действительно корректную задачу, которая легко трактуется - прозрачно видно то событие вероятность которого нужно найти.

В постановке же нашей задачи:

Цитата:

Есть числа от 1 до 9 в случайном порядке. Нужно найти вероятность того, что четные числа будут на четных местах.

Трактовка как минимум неясная,на мой взгляд. Имеет ли смысл так писать текст задачи? Или это тоже одна из форм классического написания задач по теорверу, которая должна четко была мной интерпретироваться. Но я в силу своей неопытности просто не смог её решить? Что именно в трактовке задачи должно было подтолкнуть меня, что имеется в виду именно ограниченный набор?

Еще раз спасибо за ответы.

[gris]

Если честно, то так

Цитата:

Есть числа от 1 до 9 в случайном порядке. Нужно найти вероятность того, что четные числа будут на четных местах.

задачи и не формулируются. Ну разве что в доморощенных пособиях. Стиль не тот. "Нужно"
Вот так бы я сформулировал:
Целые числа от 1 до 9 расставлены в случайном порядке. Найти вероятность того, что чётныйе числа стоят на чётных местах.
Да и то можно прикопаться. Чаще карточки с цифрами раскладывают.
В хороших задачниках формулировки такие, что не допускают вольностей.
Хотя полезно привыкать к любым формулировкам и учиться догадываться.
На практике оно так и обстоит обычно.

[Doremi]

Понятно :)

Надеюсь у kaur также больше не возникнет вопросов по этому поводу.

Спасибо Вам еще раз.

[kaur]

Спасибо, но вопросы у меня возникнут

gris в сообщении #537602 писал(а):

Поэтому Ваше первое решение с учётом перепута 5/9 и 4/9 верное.

Мне лично не совсем понятно то, что приведено в первом посте. Я не знаю, что имеется ввиду под "и т.д." Там есть попытка все места перемножать. Вы выше сказали, что "Вероятность в точности равна вероятности того, что на первых четырёх местах будут стоять чётные числа, а потом нечётные."
Но в таком случае перемножать надо для первых четырех четных мест. Т.е. то, что я написал выше. Можете сказать, так верно то, что написано в моем сообщении выше или нет?

[gris]

И Вы правы!
Так как задача уже решена, то позволю себе привести свои несколько решений.
В первой трактовке условия!
1. Вероятность равна частному от деления числа способов разместить чётные числа на чётных местах и нечётные на нечётных на общее число способов разместить 9 разных чисел на 9 разных местах.

То есть $P=\dfrac {4!\cdot 5!}{9!}=\dfrac {4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac {4\cdot3\cdot2\cdot1}{9\cdot8\cdot7\cdot6}=\dfrac{1}{126}$

2. Вероятность равна вероятности разместить 4 чётных числа на 4-х фиксированных местах (скажем, первых). Используя условную вероятность, получим:

$P=\dfrac 49\cdot\dfrac 38\cdot\dfrac 27\cdot\dfrac 16=\dfrac{1}{126}$

3. Вероятность равна условной вероятности помещения на первое место нечётного числа при условии помещения на второе место чётного при условии помещения на третье место нечётного....при условии помещения на девятое место нечётного. То есть:

$P=\dfrac 59\cdot\dfrac 48\cdot\dfrac 47\cdot\dfrac 36\cdot\dfrac 35\cdot\dfrac 24\cdot\dfrac 23\cdot\dfrac 12\cdot\dfrac 11=\dfrac{1}{126}$

Задача, разумеется, простая. И такое внимание к ней может показаться излишним. Но не пренебрегайте начальным этапом в изучении любой науки. Ибо аукнется.
ВотЪ.

[kaur]

Спасибо за рассуждения и варианты!

gris в сообщении #537628 писал(а):

Задача, разумеется, простая.

Главная трудность здесь заключалась, похоже, в понимании условий задачи.