Предел операторозначной функции комплексной переменной.

[DLL]

Пусть $R_n (\lambda ) = \left( {A_n - \lambda I} \right)^{ - 1} $, резольвента операторов $A_n$, сходится по операторной норме в некоторой окрестности точки $\lambda _0$, т.е.
$\left\| {R_n (\lambda ) - R(\lambda )} \right\| \to 0$
при всех $\lambda :\left| {\lambda - \lambda _0 } \right| < \delta$. Следует ли отсюда, что операторозначная функция $R(\lambda )$ определяет резольвенту некоторого оператора $A$.

[Полосин]

Рассмотрите последовательность $A_n=nI$, где $I$ - тождественный оператор.
P.S. Правильно - операторнозначная функция.

[ewert]

А если дополнительно предположить, что предел -- не есть тождественный ноль?...

Скорее всего, тоже ничего не выйдет; но, формально говоря, я не знаю.

[DLL]

Полосин в сообщении #537224 писал(а):

Рассмотрите последовательность $A_n=nI$, где $I$ - тождественный оператор.
P.S. Правильно - операторнозначная функция.

Спасибо. Упустил тривиальный пример.

ewert в сообщении #537228 писал(а):

А если дополнительно предположить, что предел -- не есть тождественный ноль?...

Скорее всего, тоже ничего не выйдет; но, формально говоря, я не знаю.

Есть предположение, что если $R(\lambda )$ обратим, тогда утверждение станет верным.
Изложу свою идею чуть позже, если никто не поделится достоверной информацией или ссылкой на книжку.

[ewert]

DLL в сообщении #537234 писал(а):

Есть предположение, что если $R(\lambda )$ обратим, тогда утверждение станет верным.

Там есть проблема. Операторы, для которых резольвента, могут быть неограниченными и, соответственно, определенными на совершенно беспорядочных областях. Тогда и область определения гипотетически предельного оператора тоже совершенно непонятна.

[Полосин]

ewert, да, не выйдет (та же идея, по сути): $A_n(x_1,x_2,...)=(nx_1,x_2,...)$.

[DLL]

A) Операторнозначная функция $R_n (\lambda )$ является C-дифференцируемой функцией комплексной переменной удовлетворяющей дифференциальному уравнению:
$\frac{{dR_n (\lambda )}}{{d\lambda }} = R_n^2 (\lambda )$.

B) Доказать, что предельная функция $R(\lambda )$ также удовлетворяет дифференциальному уравнению:
$\frac{{dR(\lambda )}}{{d\lambda }} = R^2 (\lambda )$.

C) Доказать, что C-дифференцируемая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению
$\frac{{dR(\lambda )}}{{d\lambda }} = R^2 (\lambda )$,
определяет резольвенту для некоторого оператора $A$, если $R(\lambda _0 )$ инъективен.

-- Сб фев 11, 2012 13:47:08 --

P.S: A) известно, B) и C) хотелось бы доказать (возможно понадобятся дополнительные предположения).

[ewert]

Пункт В) вряд ли удастся доказать без дополнительных оговорок насчёт характера сходимости. Если же предположить, скажем, что сходимость по норме равномерна относительно лямбд -- то он вроде как и очевиден (из равномерной сходимости и производных, и самой функции следует корректность перестановки предельных переходов).

Насчёт С). Этому дифуравнению откровенно удовлетворяет функция $(A-\lambda I)^{-1}$, где $A=R^{-1}(0)$ (в предположении, что $\lambda_0=0$, чего и достаточно). И при этом решение задачи Коши для этого уравнения единственно (поскольку оно единственно для билинейной формы на любой паре элементов; правда, при этом придётся, кажется, привлекать теорему Хана-Банаха; но в гильбертовом случае и её не придётся).

[DLL]

ewert в сообщении #537652 писал(а):

Пункт В) вряд ли удастся доказать без дополнительных оговорок насчёт характера сходимости. Если же предположить, скажем, что сходимость по норме равномерна относительно лямбд -- то он вроде как и очевиден (из равномерной сходимости и производных, и самой функции следует корректность перестановки предельных переходов).

Спасибо. Такие мысли мне тоже приходили в голову
Однако, зависимость $R_n (\lambda )$ не произвольная, поэтому есть подозрения, что можно доказать и без дополнительных ограничений про сходимость.

В частности, если резольвента определена в окрестности точки $\lambda _0$, то в силу C-дифференцируемости, она может быть разложена в степенной ряд в окрестности этой точки. При чем коэффициенты разложения пропорциональны степеням $R_n (\lambda _0 )$. Отсюда возникает предположение, что если
$\left\| {R_n (\lambda _0 ) - R(\lambda _0 )} \right\| \to 0$,
то и весь степенной ряд сходится в некоторой (достаточно малой) окрестности точки $\lambda _0$.