Кобылы и жеребцы (Кубок Памяти Колмогорова)

[Ktina]

В табуне 29 (такой вот микротабун ) лошадей - кобылы и жеребцы.
Число способов выбрать из этого табуна шесть кобыл равно числу способов выбрать пять жеребцов.
Сколько кобыл и сколько жеребцов в табуне?

[gris]

Ясно, что решение одно, так как способы строго и разнонаправленно изменяются. И что количество кобелейыл и жеребцов не сильно отличается, причём вторых больше. Я с первого раза попал. Но вот как решить без примитивного подбора ума не приложу.

Вот меня что больше мучит: почему кобыла — она, а кобель — он?

[Ktina]

gris в сообщении #536980 писал(а):

Ясно, что решение одно, так как способы строго и разнонаправленно изменяются. И что количество кобелейыл и жеребцов не сильно отличается. Я с первого раза попал. Но вот как решить без примитивного подбора ума не приложу.

Вот меня что больше мучит: почему кобыла — она, а кобель — он?

Я тоже без примитивного подбора не смогла. Но, видимо, задача на это и рассчитана. Соображений непрерывности вполне достаточно. Напомнило иную задачу, с Турнира Городов:

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001!+2 , 1001!+3 , ... , 1001!+1001). А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел?
(Г. А. Гальперин)

(Оффтоп)

А кобель - он, потому что козёл

[Хорхе]

Ktina в сообщении #536982 писал(а):

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001!+2 , 1001!+3 , ... , 1001!+1001). А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел?

Так тут еще и подсказка в условии нехилая.

[spaits]

Ktina в сообщении #536977 писал(а):

В табуне 29 (такой вот микротабун ) лошадей - кобылы и жеребцы.
Число способов выбрать из этого табуна шесть кобыл равно числу способов выбрать пять жеребцов.
Сколько кобыл и сколько жеребцов в табуне?

Переборка не такая страшная. Если $k$ - число кобыл, то $29-k$ будет число жеребцов.
Число способов выборки $6$ кобыл из $k$ равно

$$C_k^6=\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)(k-5)}{6!}$$

.
Число способов выборки $5$ жеребцов из $29-k$ равно

$$C_{29-k}^5=\frac{(29-k)(28-k)(27-k)(26-k)(25-k)}{5!}$$

.
Приравняв эти выражения, после приведения к общему знаменателю и сокращения на $5!$ , получаем:

$$k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)k-5)=6\cdot{(29-k)(28-k)(27-k)(26-k)(25-k)}$$

.
При этом $k\leqslantk\leqslant24$, иначе нет решения.
Посмотрев на это равенство, начинаем переборку со значения $k=14$ и сразу получаем $k=14$;
получаем из равенства $14\cdot{13}\cdot{12}\cdot{11}\cdot{10}\cdot{9}=6\cdot{15}\cdot{14}\cdot{13}\cdot{12}\cdot{11}$.
Решение единственное.

[Dave]

Ktina в сообщении #536982 писал(а):

Соображений непрерывности вполне достаточно. Напомнило иную задачу, с Турнира Городов:

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001!+2 , 1001!+3 , ... , 1001!+1001). А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел?
(Г. А. Гальперин)

Пусть $p(n)$ для любого натурального $n$ - количество простых чисел среди $n, n+1, \dots, n+999$. Эта функция "непрерывна" - при любом $n$: $|p(n+1)-p(n)| \leqslant 1$. Кроме того, очевидно $p(1)>5$ и, как было сказано выше, $p(1001!+2)=0$. Поэтому, увеличивая $n$ с $1$ до $1001!+2$, рано или поздно придём к тому, что $p(n)=5$ (это что-то вроде теоремы Больцано—Коши о промежуточных значениях непрерывной функции для дискретного случая).