Решение нелинейных уравнений. Отделение корней.

[Mikle1990]

Уравнение: $\sqrt{x+1}=\frac{1}{x}$

Я что-то запутался и не могу понять, как убедится, что корень единственный

(Оффтоп)

Надеюсь я правильно сделал графическое отделение корней и правильно определил знаки функции в аналитическом способе...

[alcoholist]

1) решение удовлетворяет неравенству $x>0$

2) На множестве $x>0$ одна функция возрастает, другая убывает, поэтому существует не более одного решения

[Mikle1990]

alcoholist, я вот думаю, как бы мне всё это написать поправильнее . А то это курсовая работа

Вот дальше я знаю, что буду писать:

Так как $f(0.5) \cdot f(1)<0$ и на отрезке функция $f'(x)$ сохраняет знак, то уравнение $\sqrt{x+1}-\frac{1}{x}=0$ имеет единственный корень, принадлежащий отрезку $[0.5;1]$

У меня в написании курсовых по математике совсем опыта нет. Не могли бы Вы составить фразу, которую я смогу вставить между тем, что в моём первом сообщении и тем, что в этом сообщении выделено курсивом?

И первую и вторую производную я зачем-то находил. Кажется подставлять что-то туда надо. Вообщем, не знаю...

-- Чт фев 09, 2012 23:41:48 --

Если честно, то я вообще не понимаю, что делать.
Я понял, что мне надо доказать, что на отрезке $[0.5;1]$ имеется единственный корень. Для этого надо сделать две вещи:
1) Что-то связанное с производными. Не знаю что надо делать...
2) $f(0.5) \cdot f(1)<0$ ()

[reg81]

Вам для курсовой работы не помешало бы поместить точное значение точки пересечения:

$ x=\frac{1}{4}\sqrt[3]{12(9+\sqrt{69})}\bigg ( \frac{1}{9}\sqrt[3]{12(9+\sqrt{69})}-\frac{\sqrt{69}}{9} +1 \bigg ) - \frac{1}{3} $

Препод простит все мелкие огрехи

[Mikle1990]

reg81 в сообщении #536860 писал(а):

Препод простит все мелкие огрехи

Она ничего не прощает

Если Вы это смогли, может скажете, как мне доказать, что корень на отрезке $[0.5;1]$ - единственный?

(Оффтоп)

Инет уже весь перерыл, но то, что нужно не нашёл...

[reg81]

Вам alcoholist четко это доказал. Главное - поймите его 2 пункта.

[Mikle1990]

reg81, без Вашей помощи я могу только предполагать.
В тех двух примерах, которые у меня есть, берутся первая и вторая производная.
А в том, что alcoholist написал, я производных не вижу

Как бы на графике видно, что точка пересечения в области, где $x>0$

Цитата:

На множестве $x>0$ одна функция возрастает, другая убывает, поэтому существует не более одного решения

Я как понимаю, если дело так обстоит, то они типо не могут больше где-либо пересекаться.

reg81, как бы мне подольше Вас задержать на этом форуме

[Doil-byle]

alcoholist в сообщении #536834 писал(а):

одна функция возрастает, другая убывает

Mikle1990 в сообщении #536868 писал(а):

А в том, что alcoholist написал, я производных не вижу

Функция возрастает, когда производная положительная, убывает - когда отрицательная. Теперь видите?
Это в принципе и так наглядно. Ну посудите сами, вот встретились функции в какой-то точке, далее одна пошла вниз, другая - наверх. Могут ли они встретиться вновь?

(Оффтоп)

Это в школе курсовая что ли? Или в вузе?

[reg81]

Эх.. меня опередили :)... Для этого и используйте производные.

[svv]

reg81

reg81 писал(а):

$ x=\frac{1}{4}\sqrt[3]{12(9+\sqrt{69})}\bigg ( \frac{1}{9}\sqrt[3]{12(9+\sqrt{69})}-\frac{\sqrt{69}}{9} +1 \bigg ) - \frac{1}{3} $

Это Вы, наверное, выместили здесь за нерешаемое уравнение седьмой степени в "Олимпиадных задачах".

[reg81]

Боже упаси! Впервые о таком слышу.

[svv]

post536795.html#p536795

[Mikle1990]

Пожалуйста скажите, вот это верно?
(Игрики с индексом 1 и 2 имеются в моём первом сообщении, если что)



Если что не так, обязательно говорите.

(Оффтоп)

Очень надеюсь, что Вы не очень спать хотите и поможете мне хоть вот с этим делом разобраться