Теорема о мощности конечного поля

[Unconnected]

Не могу понять доказательство.
Мощность поля равна степени простого числа.
Рассмотрим отображение $f:Z_p \to K$ . Определение f корректно, следует из определения характеристики поля K.
$F=f(Z_p)$ - подполе в K (??)
Рассмотрим $_{f}\textrm{K}$. Пусть {v_1,...,v_n} - базис $_{f}\textrm{K}$.
Далее, что имеется биекция $v \to$ ($\alpha_1,...,\alpha_n$) $\in F^{n}$
$|k|=|F^{n}|=p^n$.

Вопрос, что находится в подполе, и что вообще происходит.. про биекцию только понятно, а как из этого что-то вытекает..

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #523043 писал(а):

$F=f(Z_p)$ - подполе в K (??)

То есть "маленькое" и даже минимальное по включению поле $\mathbb{Z}_p$ мы вложили (инъекция, не сюрьекция) в "большое" поле. Понятно, почему можем вложить? (если нет, то рассуждаем так: $K$ - поле, значит $1 \in K$. Из числа $1$ мы можем строить элементы $1;1+1;1+1+1;...$и чем все это закончится?)

Unconnected в сообщении #523043 писал(а):

Рассмотрим $_{f}\textrm{K}$.

Что это за обозначение??

Unconnected в сообщении #523043 писал(а):

про биекцию только понятно, а как из этого что-то вытекает..

Ну пусть $\mathbb{F}$ - поле, а $K$ - линейное пространство над ним. Элементы $K$ являются всевозможными линейными комбинациями. Сколько их?

Вообще, Вы откуда берете доказательство? (какое-то оно странное)

[Unconnected]

Маленькое и минимальное по включению? Ну вот есть $Z_5$, отображаем на поле с характеристикой 7, там будет такое: 1,2,3,4,5,6,0,8... или как?

Да, нас так учат обозначать линейное пространство (нижний индекс - поле). Ну в принципе про количество комбинаций понял, вот с мономорфизмом как..
Доказательство читает лектор матмеха)

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #523049 писал(а):

Ну вот есть $Z_5$, отображаем на поле с характеристикой 7

А вот такое поле не сможете отобразить. Я не вижу доказательства целиком, но $p$, которое в $\mathbb{Z}_p$, это на самом деле $\operatorname{char}(K)$. Т.е. $\mathbb{Z}_5$ в (не "на", а "в" (не сюрьекция, а инъекция)) поле с характеристикой 7 мы отобразить не можем.

Unconnected в сообщении #523049 писал(а):

Да, нас так учат обозначать линейное пространство (нижний индекс - поле)

Ааа. Просто в 1-й раз вижу.

Unconnected в сообщении #523049 писал(а):

Маленькое

Не маленькое, а "маленькое" (т.е. я не вкладываю в это слово математический смысл, это для интуиции).

[Unconnected]

Я правильно понимаю, что в подполе будет p элементов, т.е. сколько их в $Z_p$? И то, что можно получить любой вектор из K умножением элементов подполя на базис в K - это мб потому, что подполе как бы образующее множество для K? Блин, не могу представить нифига, какое бы поле взять второе для примера..

[JMH]

Unconnected в сообщении #523092 писал(а):

И то, что можно получить любой вектор из K умножением элементов подполя на базис в K - это мб потому, что подполе как бы образующее множество для K?

Это не так. По определению, поле $\Delta$ является конечным расширением поля $\delta$ если элементы $\Delta$ являются линейными комбинациями конечного множества элементнов $u_1\dots u_n$ с коэффициэнтами из $\delta$. Обратите внимание на то, что $u_1\dots u_n$ не принадлежат $\delta$.

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #523092 писал(а):

подполе будет p элементов, т.е. сколько их в $Z_p$

Угу. Я, кстати, не знаю, в чем прикол, но начав с $1$ можно было вывести, что $K$ имеет подполе $\mathbb{Z}_p$ безо всяких там инъекций.

Unconnected в сообщении #523092 писал(а):

И то, что можно получить любой вектор из K умножением элементов подполя на базис в K - это мб потому, что подполе как бы образующее множество для K?

Да, только в переводе на русский это означает, что $K$ - линейное пространство над $F \cong \mathbb{Z}_p$.

Unconnected в сообщении #523092 писал(а):

Блин, не могу представить нифига, какое бы поле взять второе для примера..

Вообще на самом деле $K \cong \mathbb{Z}_p[x]/(f(x))$, где $f(x)$ - неприводимый многочлен над $\mathbb{Z}_p$. Возьмите, например $p=3, f(x)=x^2+1$ - вот Вам и поле.

[Unconnected]

Идею примерно понял) Спасибо :)

[Unconnected]

Блин! Сегодня на экзе попалась эта теорема. Сдал, но препод как бы понял, что я её не понимаю полностью...

Вот если взять поле характеристики 5... отображаем из $Z_5$ в K. В образе будет 0,1,2,3,4,0,6,7,8,9,0,11,12,13,14,0... , так? Если да, то почему мощность образа равна p (т.е. 5)?

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #536717 писал(а):

В образе будет 0,1,2,3,4,0,6,7,8,9,0,11,12,13,14,0... , так?

Нет, в образе будет $0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,...$. Потому что если $5 \equiv 0$, то $6 \equiv 5+1 \equiv 0+1 \equiv 1$ и т.д..
Вот Вам 2 поля для примера: $\mathbb{Z}_3$ и $\mathbb{Z}_3[i]$, где $i:i^2 \equiv -1 \pmod 3$. Возьмите, поковыряйтесь

[Joker_vD]

В образе $\mathbb Z_5$ будет никак не больше пяти элементов. Откуда у вас такие жуткие числа?

Теорема — проще некуда. Если $\mathrm{char} K=p$, то отображение $f\colon \mathbb Z_p\to K$, $f(a)=\sum\limits_{n=1}^{a}1$ корректно определено и является гомоморфизмом, а следовательно (по теореме о гомоморфизме полей), инъективно, и $F=f(\mathbb Z_p)$ — подполе $K$, причем $F\cong\mathbb Z_p$.

Поле завсегда можно рассмотреть как линейное пространство над своим подполем, вот и рассмотрим $K/F$ как линейное пространство над $F$, у него есть конечный базис $(e_1,\ldots,e_n)\subset K$, и всякий элемент $x\in K$ имеет единственное представление в виде $x=\sum\limits_{i=1}^n x_ie_i$, где $x_i\in F$. Это дает нам изоморфизм линейных пространств $\varphi\colon K \to F^n$, $\varphi(x)=(x_1,\ldots,x_n)$, а в $F^n$ имеется ровно $p^n$ элементов.

[Unconnected]

Цитата:

В образе $\mathbb Z_5$ будет никак не больше пяти элементов.

А вот чего это вдруг не будет? Разве в $Z_5$ нету класса 11 (с чертой сверху), который перешел бы в 11 в поле? И что за теорема о гомоморфизме полей?

[Joker_vD]

Во-первых, в $\mathbb Z_5$ имеется ровно пять элементов: $5\mathbb Z,1+5\mathbb Z,2+5\mathbb Z,3+5\mathbb Z,4+5\mathbb Z$. Во-вторых, вам следует знать, что $1+5\mathbb Z=11+5\mathbb Z$, т.е. $\overline{1}=\overline{11}$, если использовать ваши обозначения.

Теорема о гомоморфизме полей. Если $K,L$ — поля, $f\colon K\to L$ — гомоморфизм полей, то $f$ инъективен. Как следствие, он устанавливает изоморфизм $K$ с некоторым подполем поля $L$: $f\colon K\to f(K)\subset L$.

То есть если вы отображаете $\overline{1}$ из $\mathbb Z_5$ в единицу, то $\overline{11}$ тоже отображается в единицу — просто потому, что $\overline{1}$ и $\overline{11}$ — это одно и тоже, только записано по разному.

[Unconnected]

Цитата:

Во-первых, в $\mathbb Z_5$ имеется ровно пять элементов

Вот это меня тормозило.. хорошо, ну значит перевели из $Z_5$ пять элементов (0 1 2 3 4), но почему они являются полем (подполем)? 3+4=7, 7 не лежит в этом подполе..

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #536804 писал(а):

3+4=7

$7=5+2 \equiv 2 \in \mathbb{Z}_5$.