Аналитически доказать неравенство f(x) < g(x)

[yahooomg]

Нужно аналитически доказать, что для $x < 0$ функция $f(x) = \exp(\frac{(x+1)^2}{2}) - \exp(\frac{x^2}{2})$ всюду меньше функции $g(x) = \sqrt{e} - \exp(-\frac{x}{2})$. Графически это видно сразу, нужно именно аналитическое доказательство. Помогите.

[gris]

...

[ewert]

$$e^{\frac{(x-1)^2}2}-e^{\frac{x^2}2}<\sqrt{e}-e^{\frac{x}2}\ (\forall x>0);\quad e^{\frac{x^2}2}\left(e^{-x+\frac12}-1\right)<\sqrt{e}-e^{\frac{x}2}.$$

При $x\in[\frac12;1]$ неравенство тривиально. При $x<\frac12$ можно попытаться огрубить его, заменив $e^{\frac{x^2}2}$ на $\frac18$; там получится кубическое неравенство для $t=e^{\frac{x}2}$, и с ним, кажется, всё в порядке (хотя аккуратно не проверял). При $x>1$ можно огрубить в другую сторону: $e^{\frac{x^2}2}\left(1-e^{-\frac12}\right)>e^{\frac{x}2}-\sqrt{e}$. При иксах, больших где-то $1.3$, это верно потому, что производная левой части больше производной правой, а на участке от $1$ до $1.3$ очевидно верно потому, что очень уж велик запас.

Как-то так, хотя это, конечно, вульгарно.

[yahooomg]

Ewert, для $\forall x > 0$ я еще не рассматривал, но спасибо за ответ и идеи, попробую аккуратно доказать все моменты. А для $x < 0$ вопрос остается нерешенным. Приму любые идеи.

[ewert]

yahooomg в сообщении #536657 писал(а):

А для $x < 0$ вопрос остается нерешенным

Я именно этот случай и рассматривал, только предварительно сделал замену икса на минус икс -- так удобнее.

[yahooomg]

ewert в сообщении #536659 писал(а):

Я именно этот случай и рассматривал, только предварительно сделал замену икса на минус икс -- так удобнее.

Спасибо! буду разбираться