траектория в плоскости

[anatoliy_kiev]

Есть вот такая задача:

Цитата:

При движении точки ее ускорение все время направлено к неподвижному центру. Доказать, траектория точки лежит в плоскости, проходящей через этот центр.

Как ее решать в динамике всем известно (в одну строчку); вот на днях словил себя на мысли, что не могу этого устно доказать пользуясь чисто кинематическими представлениями (т.е. без всяких там моментов импульса и т.д.). Дошел до следующего (хочу построить от противного): если траектория перестает быть плоской, то меняется и соприкасающийся плоскость, в последней же, как известно, лежит ускорение. Таким образом, если рассмотреть две соприкасающиеся плоскости, то, с одной стороны, для соответствующих точек траектории вектор ускорения должен лежать в этих плоскостях, а с другой стороны (по условию) ускорение все время направлено к неподвижному центру. Отсюда приходим к тому, что неподвижный центр лежит на пересечении соприкасающихся плоскостей. Дальше нужно найти какое-то противоречие, но я туплю... Просьба помочь.

[arseniiv]

А нельзя взять четыре произвольные точки траектории и показать, что они лежат в одной плоскости?

[Munin]

По-моему, из динамики используется ровно один факт, но ключевой: что движение точки - дифференциальное уравнение второго порядка, не больше. Если больше, то факт неверен. Если второго - то доказать можно как угодно.

Например, проведём плоскость через текущее положение точки, её вектор скорости, и центр. Траектория не может выйти из этой плоскости ни вверх, ни вниз, потому что нечему нарушить симметрию: траектория определяется только теми геометрическими объектами, которые лежат в плоскости.

P. S. Факт обобщается на уравнение $k$-го порядка и $k$-мерное плоское подпространство пространства размерности $n\geqslant k.$ Более того, если задающие начальные данные геометрические объекты (радиус-вектор и его производные) все лежат в $m$-мерном подпространстве, $m\leqslant k,$ то они и за его пределы не выходят.

[lyuk]

По-моему, тут достаточно уяснить, что движение точки полностью определяется тремя вещями:
1) начальным положением; 2) начальной скоростью; 3) модулем ускорения.

Теперь имея эти три вещи решаем задачу в плоскости, которая проходит через начальное положение и содержит векторы начальной скорости и начального ускорения. Дальше используем единственность решения.

[anatoliy_kiev]

arseniiv в сообщении #536190 писал(а):

А нельзя взять четыре произвольные точки траектории и показать, что они лежат в одной плоскости?

покажите

Munin в сообщении #536192 писал(а):

По-моему, из динамики используется ровно один факт, но ключевой: что движение точки - дифференциальное уравнение второго порядка, не больше. Если больше, то факт неверен. Если второго - то доказать можно как угодно.

только, наверное, не движение точки -- это дифференциальное уравнение 2-го порядка, а траектория описывается кривой, которая удовлетворяет дифуру не выше второго порядка. Вот как раз смотрю в сборнике Пятницкого по аналитической механике (Пятницкий, Трухан, Ханукаев, Яковенко, Сборник задач по аналитической механике) эта задача стоит в разделе кинематика. Жаль решение не привели, интересно, подразумевали ли они, что этот факт известен из динамики или нет (неужели прокололись в первой же задаче из сборника?!)

Munin в сообщении #536192 писал(а):

Например, проведём плоскость через текущее положение точки, её вектор скорости, и центр. Траектория не может выйти из этой плоскости ни вверх, ни вниз, потому что нечему нарушить симметрию: траектория определяется только теми геометрическими объектами, которые лежат в плоскости.

я тоже так прикинул вначале, конечно, но такое "доказательство" показалось мне наивным

[obar]

anatoliy_kiev в сообщении #536209 писал(а):

эта задача стоит в разделе кинематика

В условии задачи существенно, что сила центральная. Если это убрать, то утверждение неверно. А раз необходимо явно учитывать особенности приложения сил, то это уже не кинематическая задача.

[sithif]

Цитата:

При движении точки ее ускорение все время направлено к неподвижному центру. Доказать, траектория точки лежит в плоскости, проходящей через этот центр.

Эта задача очень похожа на движение точки по сфере. Там как же движение в плоскости проходящей через центр сферы.
Решается такая задача так, задается $L$ по радиусу и, что бы выполнялся constraint (т. е. потенциальная энергия $V(r \ne R)=\infty$, т. е. запрещенна зона движения везде кроме поверхности),
необходимо что бы движение происходило по окружности с радиусом $R$.

[anatoliy_kiev]

obar в сообщении #536213 писал(а):

В условии задачи существенно, что сила центральная. Если это убрать, то утверждение неверно. А раз необходимо явно учитывать особенности приложения сил, то это уже не кинематическая задача.

в условии ничего про силу не сказано, не нужно додумывать. Читайте внимательнее.

(Оффтоп)

sithif в сообщении #536217 писал(а):

Эта задача очень похожа на движение точки по сфере. Там как же движение в плоскости проходящей через центр сферы.
Решается такая задача так, задается $L$ по радиусу и, что бы выполнялся constraint (т. е. потенциальная энергия $V(r \ne R)=\infty$, т. е. запрещенна зона движения везде кроме поверхности),
необходимо что бы движение происходило по окружности с радиусом $R$.

что это за бред?

[obar]

Да, действительно, невнимательно прочитал. Тогда задача вполне корректная и просто решается.
По условию

$$ \frac{d\vec{v}}{dt}\,\|\,\vec{r}\quad\Rightarrow\quad \left[\vec{r}\times\frac{d\vec{v}}{dt}\right]=0 $$

т.е.

$$ \frac{d}{dt}[\vec{r}\times\vec{v}]=0\quad\Rightarrow\quad [\vec{r}\times\vec{v}]=const. $$

Последнее равенство и выражает сохранение плоскости движения.

[anatoliy_kiev]

obar, да, все просто оказалось. Спасибо. По сути задача свелась к тому же равенству, что и для точки (в динамике), движущейся под действием центральной силы.

[Munin]

Да, обидно я прокололся...