Область сходимости ряда

[Ktina]

Найти область сходимости ряда

$\sum_{n=1}^\infty \cos nx$

Ясно, что при $x=0$ ряд расходится, так как все его члены - единички.
Ясно также, что при $x=\frac{\pi}{2}$ ряд сходится, так как получается ряд (0-1+0+1)+(0-1+0+1)+...
При $x=\pi$ ряд также сходится: (-1+1)+(-1+1)+...

А как найти общее решение?
(готовность думать имеется)

[svv]

То, что получается при $x=\frac{\pi}2$ и при $x=\pi$ -- это тоже не сходимость (по крайней мере, в классическом смысле; эта оговорка в действительности не нужна). Ряд сходится, если последовательность его частичных сумм стремится к пределу (конечному; эта оговорка тоже на самом деле не нужна). Если такой предел существует, он называется суммой ряда.

Для $x=\pi$ имеем последовательность частичных сумм $-1, 0, -1, 0, ...$, которая не имеет предела.

Группируя слагаемые скобками, Вы тем самым как бы стремитесь получить другой ряд: $0+0+0+...$. Он, конечно, сходится, но исходный (при $x=\frac {\pi} 2$ или $x=\pi$) -- нет.

[ИСН]

Сходимость - понятие лукавое. Вот смотрите, последний вариант сходится к чему? По указанной группировке - очевидно, к 0. А если так: -1+(1-1)+(1-1)+... - тогда к чему? А ведь ряд тот же. Как же так? Значит что, всё можно? Воруй, убивай, души гусей?

[Ktina]

ИСН в сообщении #536023 писал(а):

Сходимость - понятие лукавое. Вот смотрите, последний вариант сходится к чему? По указанной группировке - очевидно, к 0. А если так: -1+(1-1)+(1-1)+... - тогда к чему? А ведь ряд тот же. Как же так? Значит что, всё можно? Воруй, убивай, души гусей?

Я об этом подумала. В смысле, что способ группировки влияет на сходимость. Но так как только сегодня усвоила понятие "область сходимости", решила пока не распыляться на всё подряд, а то в голову не влезет. Мне вчера написали, что "пора переходить в "вышке"", вот я и перехожу - одна половина тела перешла, а голова пока осталась в элементарной математике.

[svv]

Я не только восхищён Вашей решимостью, но даже благодарен. А гениальны Вы и так.

[xmaister]

(Оффтоп)

Я бы хотел уточнить по поводу необходимого условия, если $x$- не соизмерим с $\pi$, то оно не выполняется. А как для остальных быть? Можно ли найти такие $x$, при которых последовательность $\{\cos nx\}$ равномерно распределена по модулю 1, плотна на $[-1,1]$ или просто расходится?

[ewert]

xmaister в сообщении #536030 писал(а):

А как для остальных быть?

А для остальных последовательность будет периодической. И тогда вопрос сводится к следующему: существует ли такое $x\in[0;2\pi)$, что $\cos(nx)=0\ (\forall n$?...

[xmaister]

(Оффтоп)

Да, это я затупил, извините

[hippie]

svv в сообщении #536022 писал(а):

То, что получается при $x=\frac{\pi}2$ и при $x=\pi$ -- это тоже не сходимость (по крайней мере, в классическом смысле; эта оговорка в действительности не нужна).

Как раз эта оговорка очень даже нужна, т.к. при $x\ne 2\pi k$ этот ряд прекрасно суммируется многими методами (Чезаро, Абеля, Миттаг-Леффлера и т.д.).
Причём, при естественных условиях накладываемых на метод (линейность + регулярность + транслятивность), сумма не зависит от выбранного метода суммирования.

[svv]

Я не имел в виду, что ряд ни в каком смысле не сходится. Просто не обязательно уточнять, что речь идет о сходимости в смысле предела частичных сумм -- по умолчанию имеется в виду именно это, а все другие "сходимости по ..." -- это уже обобщения, они и оговариваются.