Вопрос про трансфинитную индукцию

[xmaister]

В Энгелькинге теорема об определении по трансфинитной индукции формулируется так:
Пусть даны произвольное множество $Z$ и некоторый ординал $\alpha$. Пусть $G$- множество всех трансфинитных последовательностей типов, меньших $\alpha$ со значениями в $Z$. Для каждой функции $h: G\to Z$ существует тогда в точности одна трансфинитная последовательность $f$ типа $\alpha$, такая, что

$$f(\xi )=h(f|W(\xi ))\text{ при всех }\xi <\alpha ,$$

где $f|W(\xi )$- трансфинитная последовательность типа $\xi$, полученная сужением отображения $f$ на множество $W(\xi )$ всех ординалов, меньших $\xi$.
Под трансфинитной последовательностью типа $\alpha$ со значениями в $X$ понимают любое отображение $f$ множества $W(\alpha)$ в множество $X$.
Вроде бы борелевскую сигма-алгебру можно определить как \bigcup\limits_{\alpha<\xi}\mathcal{B}_{\alpha}$. $\mathcal{B}_0$- дополнения и счетные пересечения открытых. Однако формально не понимаю, как это обосновать. Вообще какие примеры есть, где трансфинитная индукция необходима? А теорема об определении по трансфинитной индукции и прицип трансифинитной индукции это не одно и тоже?