Двоичное число

[Ktina]

Натуральное число $n$, делящееся нацело на 17, записано в двоичной системе счисления и содержит ровно три ненулевых цифры.

а) Какое наименьшее число нулей может иметь $n$?

б) Если $n$ имеет ровно семь нулей, обязано ли оно быть чётным?

[Батороев]

Число в двоичной системе, разбитое на группы по 4 разряда является числом, записанным в 16-ричной системе, разряды которого записаны в двоичной системе. Признаком делимости на 17 числа, записанного в 16-чной системе, является равенство нулю знакопеременной суммы разрядов.
Т.к. ненулевых цифр всего 3, то минимальный вариант равенства нулю знакопеременной суммы является $1-0010+0001=0$, а само число $289$.
При $7$ нулях возможно единственное равенство нулю знакопеременной суммы $10-0100+0010$, что соответствует числу $578$.

[Sender]

Запишем ряд остатков от деления степеней двойки на 17, начиная с $2^0$:
1, 2, 4, 8, 16, 15, 13, 9, 1.

Если в двоичной записи числа 3 единицы, оно представимо в виде $N=2^m+2^n+2^k$. Положим для определённости $m<n<k$.
а) В числе с наименьшим количеством нулей $m=0$. Подберём такие $n$ и $k$, чтобы при наименьшем $k$ $2^n+2^k \equiv 16 \pmod {17}$. Это возможно при сумме остатков $15+1= 16$, что соответствует $n=5, k=8$, т.е. $N=289$.
б) Предположим, что найдётся нечётное число, удовлетворяющее условию. Тогда сразу $m=0$, $k=9$, откуда следует, что $2^n \equiv 14 \pmod {17}$, что невозможно.