Борелевская мера и приближение множества изнутри компактом

[xmaister]

Пусть $\mu$- неотрицательная борелевсая мера в $\mathbb{R}^n$. $F_\varepsilon$- замкнутое множество. Почему $F_\varepsilon$ можно приблизить изнутри компактом $F_\varepsilon\cap U$ с точностью до $\frac{\varepsilon}{2}$, где $U$- шар, достаточно большого радиуса?

[Padawan]

Потому что мера обладает свойством непрерывности $\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(A)$ для любой возрастающей последовательности множеств $A_n$ такой, что $\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n=A$. У вас можно взять $A_n=F_\varepsilon\cap U_n$, где $U_n=B(0,n)$, например.