Десятичная запись числа n!

[Edward_Tur]

Доказать, что десятичная запись числа $n!$ может начинаться с любой наперед заданной комбинации цифр.

[Dave]

Пусть $K$ - любая наперёд заданная комбинация цифр, $10^{m-1} \leqslant K < 10^m$, $m \in \mathbb N$. Пусть теперь $a=10^{2m+46}$, $d=10^{m+24}$ и первые $m$ цифр числа $a!$ составляют число $L$, $10^{m-1} \leqslant L < 10^m$, а после них есть ещё $t$ цифр. Рассмотрим возрастающую последовательность чисел

$$\frac {a!} {10^t}, \; \frac {(a+1)!} {10^ta}, \; \frac {(a+2)!} {10^ta^2}, \; \dots, \;\frac {(a+d-1)!} {10^ta^{d-1}} \eqno(1)$$

$i$-е число в этой последовательности больше предыдущего в $\frac {a+i} a = 1+ \frac i a$ раз. Из неравенства $(1+x)(1+y)>1+x+y$ для любых положительных $x$ и $y$ получаем, что частное $z$ между первым и последним числом больше, чем $1 + \sum\limits_{i=1}^{d-1} \frac i a = 1+\frac {(d-1)d} {2a} > \frac {d^2} {2a} = 50$. В то же время, из неравенства $1+x \leqslant e^x$ для любого $x$ получаем, что $z<\exp\left(\sum\limits_{i=1}^{d-1} \frac i a\right)<\exp\left(\frac {d^2} {2a}\right)=e^{50}<10^{22}.$ А т.к. разность между любыми двумя соседними членами последовательности $(1)$ меньше максимального из них, умноженного на $\frac d a$, то отсюда следует, что эта разность всегда меньше

$$z \frac {a!} {10^t} \frac d a < 10^{22} \frac {10^m 10^t} {10^t} \frac {10^{m+24}} {10^{2m+46}} = 1,$$

а значит целая часть на каждом шаге увеличивается не более, чем на единицу. Целая часть первого числа последовательности равна $L$, а последнее больше его в $z>50$ раз, поэтому либо $L \leqslant K$ и $L \leqslant K<10L<zL$, либо $L>K$ и $L<10K<10L<zL$ и в последовательности $(1)$ найдётся число, целая часть которого в точности равна $K$ или $10K$. Поэтому в качестве $n$ можно взять соответствующее ему число из последовательности

$$a!,\;(a+1)!,\;(a+2)!,\;\dots,\;(a+d-1)!$$

[Руст]

Пусть надо найти с началом из заданных k цифр. Возьмем предварительное число $n_0=10^{2k+2}$. Тогда $lg(n_0+i)=4k+4+\delta(i), \delta(i)=\frac{1}{\ln{10}}(\frac{i}{n_0}-\frac{i^2}{2n_0^2}+\epsilon}$. Сумма $\sum_{i=1}^a \delta(i)$ превзойдет 1 при $a$ порядка $\sqrt{2n_0}.$ При этом точность прохождения необходимого значения дробной доли порядка $\sqrt{2n_0}{n_0\lg{10}}<\sqrt{1}{n_0}<\frac{1}{10^{k+1}}$, что обеспечивает совпадение первых $k$ цифр $(n_0+a)!$ с нужным значением. Каждое следующее значение $n_{i+1}=n_i+\theta \frac{\sqrt{2n_i}}{\ln{10}}, \theta<1.$

[Dave]

Dave в сообщении #535361 писал(а):

Поэтому в качестве $n$ можно взять соответствующее ему число из последовательности

$$a!,\;(a+1)!,\;(a+2)!,\;\dots,\;(a+d-1)!$$

$n$ из $a,\;(a+1),\;(a+2),\;\dots,\;(a+d-1)$, конечно же.

[maxal]

см. A018799