Предхаусдорфово пространство

[Бабай]

Привет!

Хочется показать, что в $T_1$-пространстве (где для любых двух различных точек найдутся окрестности, не содержащие соответственно другую точку) для любого подмножества $A$ имеет место включение $(A')' \subset A'$, где штрих обозначает операцию взятия всех предельных точек.

С этим связан пример пространства, которое не есть даже $T_0$, а, значит, где не выполняется и $T_1$, такое что упомянутое включение не имеет места. Именно, берётся двухэлементное множесто с тривиальной топологией. Я вот что-то не соображу, какое множество в нём нарушает наше включение. Одноточечные множества ведь не подходят. Разве можно тогда взять пустое множество?

[Хорхе]

Одноточечные множества прекрасно подходят.

[alcoholist]

Если под штрихом понимается замыкание, тогда имеет место равенство

[Хорхе]

Под штрихом понимается то, что написано в первом сообщении.

[Someone]

Бабай в сообщении #534300 писал(а):

Хочется показать, что в $T_1$-пространстве (где для любых двух различных точек найдутся окрестности, не содержащие соответственно другую точку) для любого подмножества $A$ имеет место включение $(A')' \subset A'$, где штрих обозначает операцию взятия всех предельных точек.

А что Вы называете предельной точкой? Я привык к такому определению.
Дано топологическое пространство $X$ и его подмножество $A\subseteq X$. Точка $x_0\in X$ называется предельной точкой множества $A$, если для каждой окрестности $U\subseteq X$ точки $x_0$ (= открытого множества $U\subseteq X$, содержащего точку $x_0$) существует точка $x\in A\cap U$, не совпадающая с точкой $x_0$.

Чтобы доказать включение $(A')'\subseteq A'$, докажите, что точка, предельная для множества $A'$, является предельной и для $A$. Но я не вижу, причём тут аксиомы отделимости. Это включение выполняется в любых топологических пространствах. Аксиома $T_1$ позволяет доказать другое утверждение: если $x_0\in X$ - предельная точка множества $A\subseteq X$ и в пространстве $X$ выполнена аксиома $T_1$, то для каждой окрестности $U\subseteq X$ точки $x_0$ множество $U\cap A$ бесконечно.

[Бабай]

Само утверждение о включении для произволного $T_1$-пространства ясно:

Берём произвольный $x \in (A')'$. Тогда для любой окрестности $U$ точки $x$ имеем $S:=U \cap A' \neq \emptyset$ (здесь и далее в пересечении подразумеваются точки, отличные от точки, чью окрестность мы берём). Для $y \in S$ имеем в частности $y \in A'$, и соответственно для любой окрестности $V$ точки $y$ имеем $V \cap A \neq \emptyset$. В частности, в силу аксиомы $T_1$ найдётся окрестность $V_0$, которая не содержит точку $x$ (этим исключена проблема, возникающая при $x \in A$), такая что $V_0 \cap A \neq \emptyset$. Далее, для любой окрестности $U$ имеем $U \cap V_0 \neq \emptyset$, так как здесь содержится $y$, но ясно, что никогда не выполняется лишь только $U \cap V_0 = \{y\}$, так как тогда бы было $y \in U$ при всех $U$, что противоречит аксиоме $T_1$. Таким образом, $U \cap V_0$ есть окрестность для $y$, содержащая хотя бы одну точку из $A$, отличную от $y$. След-но, и $U$ содержит хотя бы одну точку из $A$, отличную от $x$.

Someone в сообщении #534346 писал(а):

Это включение выполняется в любых топологических пространствах.

Требование выполнения аксиомы $T_1$ существенно -- мы пользовались ею, чтобы (частично) отделить точки $x$ и $y$.

Теперь к примеру. Пусть $X=\{a,b\}$ и $\tau=\{\emptyset, \{a,b\}\}$.
Тогда, например точка $a$, очевидно, является предельной для множества $A:=\{b\}$. Но $(A')'=A'=\{a,b\}$ и поэтому включение выполняется (для меня...а может всё-таки нет?…тогда я похоже заблудился в трёх соснах), а мне надо, чтоб оно не выполнялось. Как раз отсюда у меня и возник исходный вопрос. Остаётся же только пустое множество! Я просто спрашивал, можно ли его вообще брать. По идее да, ведь оно обладает любыми наперёд заданными свойствами, так как проверять просто нечего. То есть, заведомо $(\emptyset)'=\{a\}$, но $((\emptyset)')'=\{a,b\}$.

Someone в сообщении #534346 писал(а):

если - предельная точка множества и в пространстве выполнена аксиома , то для каждой окрестности точки множество бесконечно.

Это утверждение мне уже известно.

[Someone]

Бабай в сообщении #535174 писал(а):

То есть, заведомо $(\emptyset)'=\{a\}$, но $((\emptyset)')'=\{a,b\}$.

Вы что??? $\varnothing'=\varnothing$.

Бабай в сообщении #535174 писал(а):

Теперь к примеру. Пусть $X=\{a,b\}$ и $\tau=\{\emptyset, \{a,b\}\}$.
Тогда, например точка $a$, очевидно, является предельной для множества $A:=\{b\}$. Но $(A')'=A'=\{a,b\}$ и поэтому включение выполняется (для меня...а может всё-таки нет?…тогда я похоже заблудился в трёх соснах)

Да, не выполняется. Действительно, что-то типа $T_1$ требуется, хотя, скорее всего, не совсем $T_1$, но трудно понять, что именно. В общем, я был не прав. В Вашем примере $\{a\}'=\{b\}$, $\{b\}'=\{a\}$, так что включения $\{a\}''\subseteq\{a\}'$ нет. Вы просто неправильно нашли производные множества.

[Бабай]

Да, пардон…эти выводы с пустым множеством -- это полный брэд оф сив кэйбл…так что извиняюсь.

Вот видите, ведь действительно заблудился в трёх соснах…я очевидно зациклился на том, что вместо взятия предельных точек постоянно брал замыкание (хотя ведь знал , что это не одно и то же, о чём говорит уже равенство $\bar{A}=A \cup A'$)…ну что-то прям вбилось в голову и всё…похоже слишком уж привык к замыканию…вот и замкнуло!

Извините, что отнимал у Вас время с тривиальностями.

Спасибо!

[Someone]

(Оффтоп)

Ничего, мне это тоже оказалось полезно: обратил внимание на деталь, которую не замечал раньше (да и повода для этого не было).