Пусть

- любая наперёд заданная комбинация цифр,

,

. Пусть теперь

,

и первые

цифр числа

составляют число

,

, а после них есть ещё

цифр. Рассмотрим возрастающую последовательность чисел

-е число в этой последовательности больше предыдущего в

раз. Из неравенства

для любых положительных

и

получаем, что частное

между первым и последним числом больше, чем

. В то же время, из неравенства

для любого

получаем, что

А т.к. разность между любыми двумя соседними членами последовательности

меньше максимального из них, умноженного на

, то отсюда следует, что эта разность всегда меньше

а значит целая часть на каждом шаге увеличивается не более, чем на единицу. Целая часть первого числа последовательности равна

, а последнее больше его в

раз, поэтому либо

и

, либо

и

и в последовательности

найдётся число, целая часть которого в точности равна

или

. Поэтому в качестве

можно взять соответствующее ему число из последовательности
